1　平均变化率与瞬时变化率-2022版数学选择性必修第二册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

第二章　导数及其应用

§1　平均变化率与瞬时变化率

1.1　平均变化率

1.2　瞬时变化率

基础过关练

题组一　平均变化率

1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为 (　　)

A.0.40 B.0.41  C.0.43 D.0.44

2.(2020江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为              (　　)

A.1 B.2  C.π D.π2

3.(2021安徽滁州高二上期末)若函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为              (　　)

A.k1>k2 B.k1<k2  C.k1=k2 D.不能确定

4.(2020陕西西安中学高二下期中)函数y=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为              (　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

5.(2020吉林长春东北师大附中高二下月考)某物体沿水平方向运动,其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在运动前2秒的平均速度(米/秒)为              (深度解析)

A.18 B.13 C.9 D.

6.(多选)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为v1,v2,v3,则下列说法正确的是              (　　)

A.< B.=  C.> D.<

7.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5,则Δt的取值范围是　　　　. 

8.设y=x3与y=x2在x=2附近的平均变化率分别为m1,m2,则m1　　　　m2.(填“>”“<”或“=”) 

题组二　瞬时变化率

9.函数y=f(x)=3x+1在x=2处的瞬时变化率是 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

10.(2021广东汕头金山中学高二上期末)一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是              (　易错　)

A.7米/秒 B.6米/秒

C.5米/秒 D.8米/秒

11.(2020江苏常熟高二下期中)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v=0.4t+0.6t2,则火车的加速度为2.8 m/s2时,行驶时间为              (　　)

A. s B.2 s C. s D. s

12.(2021湖北武汉外国语学校高二上期末)已知球的体积V是关于半径r的函数,且V=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为　　　　. 

13.已知某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为　　　　;在t=4时的瞬时速度为　　　　.  

14.航天飞机升空后一段时间内,其高度与时间满足h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.

(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?

(2)求第2 s内的平均速度;

(3)求第2 s末的瞬时速度.

答案全解全析

第二章　导数及其应用

§1　平均变化率与瞬时变化率

1.1　平均变化率

1.2　瞬时变化率

基础过关练

1.B　Δy=f(2+Δx)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.

2.C　所求平均变化率为 ==π.

3.A　因为函数f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-=Δx(2x0+Δx),所以k1==2x0+Δx.因为函数f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的改变量Δy=f(x0)-f(x0-Δx)=-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),所以k2==2x0-Δx.所以k1-k2=2Δx,又Δx>0,所以k1>k2,故选A.

4.D　根据题意,函数y=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为==m+1,则m+1=3,解得m=2.

5.C　∵s(t)=5t+2t2,∴该物体在运动前2秒的平均速度(米/秒)为==9.故选C.

方法总结

要求物体的平均速度,就要知道物体在一段时间里走过的距离,用距离除以时间即得平均速度.

6.AD　由题意得=kOA,=kAB,=kBC,由题图可得kOA<kAB<kBC,∴<<,故选AD.

7.答案　(0,1]

解析　该质点在2到2+Δt之间的平均速度===4+Δt,又≤5,则4+Δt≤5,所以Δt≤1,又Δt>0,所以Δt的取值范围是(0,1].

8.答案　>

解析　由题意得m1==(Δx)2+6Δx+12,m2==Δx+4,

∴m1-m2=(Δx)2+5Δx+8=+>0,∴m1>m2.

9.B　Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx,∴==3,∴当Δx趋于0时,趋于3.故选B.

10.C　因为==5+Δt,所以当Δt趋于0时,5+Δt趋于5,即物体在3秒末的瞬时速度为5 米/秒.故选C.

易错警示

解题时要注意t秒末与t秒初的区别,求t秒末的瞬时速度就是求t秒时的瞬时速度,而求t秒初的瞬时速度则是求(t-1)秒时的瞬时速度.

11.B　设火车的加速度为2.8 m/s2时,行驶时间为t0 s,则

==0.4+1.2t0+0.6Δt,

当Δt趋于0时,0.4+1.2t0+0.6Δt趋于0.4+1.2t0,所以0.4+1.2t0=2.8,解得t0=2.故选B.

12.答案　16π

解析　ΔV=-=,∴=[12+6Δr+(Δr)2],

当Δr趋于0时,趋于16π,∴球的体积的瞬时变化率为16π.

13.答案　6;6

解析　当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt,则=3Δt+6,当Δt趋于0时,3Δt+6趋于6,即该物体在t=1时的瞬时速度为6.

当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,则=3Δt+6,当Δt趋于0时,3Δt+6趋于6,即该物体在t=4时的瞬时速度为6.

14.解析　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;

h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度;

h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.

(2)              航天飞机升空后第2 s内的平均速度为

=

=170(m/s).

(3)Δh=h(2+Δt)-h(2)=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)=5(Δt)3+60(Δt)2+225Δt,所以=5(Δt)2+60Δt+225,当Δt趋于0时,5(Δt)2+60Δt+225趋于225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.