北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则练习

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则练习，共10页。试卷主要包含了函数y=42的导数y'=，以下函数求导正确的是，求下列函数的导数等内容，欢迎下载使用。

题组一 复合函数的求导法则
1.为求函数y=(x2-1)n的导数,下列复合过程正确的是( )

A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1
2.(2021江西南昌七校高二上联考)函数y=4(2-x+3x2)2的导数y'=( )
A.8(2-x+3x2)B.2(-1+6x)2
C.8(2-x+3x2)(6x-1)D.4(2-x+3x2)(6x-1)
3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为( )
A.12B.23C.34D.1
4.(多选)(2020江苏常熟高二下期中)以下函数求导正确的是( )
A.若f(x)=x2-1x2+1,则f'(x)=4x(x2+1)2
B.若f(x)=e2x,则f'(x)=e2x
C.若f(x)=2x-1,则f'(x)=12x-1
D.若f(x)=cs2x-π3,则f'(x)=-sin2x-π3
5.(2021黑龙江大庆实验中学高二上期末)已知函数f(x)=sin 2x, f'(x)为f(x)的导函数,则f'π6= .
6.求下列函数的导数.
(1)y=x2(2x+1)3;
(2)y=e-xsin 2x;
(3)y=ln2x+1-1;
(4)y=cs(-2x)+32x+1.
易错
题组二 复合函数求导的综合运用
7.(2021河北邯郸大名一中、磁县一中等高二上联考)曲线y=f(x)=sin 2x在原点处的切线方程是( )
A.y=xB.y=2xC.y=-xD.y=-2x
8.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变的过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=600·2-t30,则铯137含量M在t=30时的瞬时变化率(单位:太贝克/年)为( )
A.-10ln 2B.300ln 2
C.-300ln 2D.300
9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx的值为( )
A.10B.-10C.-20D.20
10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1B.2C.-1D.-2
11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f'(0)=( )
A.2B.-2C.1D.e+1
12.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 .
14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.
能力提升练
题组 复合函数的导数及其应用
1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是( )

A.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)=-1x
B.x>0时,f'(x)=1x,x<0时,f'(x)无意义
C.x≠0时,都有f'(x)=1x
D.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导
2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )
A.-15B.0C.15D.5
3.(2020山东潍坊高二下期中,)已知(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1+2a2+3a3+…+10a10=( )
A.-20B.-15C.15D.20
4.(2021湖南名校联盟高二下联考,)已知函数f(x)=xex-a,曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y=3x+b,则a+b=( )
A.-4B.-2C.2D.4
5.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为( )
A.2x-y=0B.2x+y=0
C.4x-y=0D.4x+y=0
6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)
B.函数g(x)的最大值为2
C.函数g(x)的图象上存在点P,使得其在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行
D.若方程g(x)=2的两个不同的实数解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π2
7.(2020山东滨州高二下期末,)已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0,y0),则1a+1b的最小值是 .
8.()若直线y=kx+b既是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
9.()设函数f(x)=aexln x+bex-1x.
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
10.()已知函数f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'π4,求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
答案全解全析
§5 简单复合函数的求导法则
基础过关练
1.A 函数y=(x2-1)n可由y=un,u=x2-1复合而成.故选A.
2.C y'=4×2(2-x+3x2)·(2-x+3x2)'=8(2-x+3x2)(6x-1).故选C.
3.B 由f(x)=ln(ax-1),可得f'(x)=aax-1,
由f'(2)=2,可得a2a-1=2,解得a=23.故选B.
4.AC 对于A,f'(x)=2x(x2+1)−(x2-1)·2x(x2+1)2=4x(x2+1)2,故A正确;
对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,故B错误;
对于C,f'(x)=[(2x-1)12]'=12·(2x-1)-12·2=(2x-1)-12=12x-1,故C正确;
对于D,f'(x)=-sin2x-π3·2=-2sin2x-π3,故D错误.故选AC.
5.答案 1
解析 易得f'(x)=2cs 2x,所以f'π6=2cs π3=1.
6.解析 (1)∵y=x2(2x+1)3,
∴y'=2x·(2x+1)3-x2·3(2x+1)2·2(2x+1)6
=2x-2x2(2x+1)4.
(2)∵y=e-xsin 2x,∴y'=-e-xsin 2x+2e-x·cs 2x=e-x(2cs 2x-sin 2x).
(3)∵y=ln 2x+1-1=12ln(2x+1)-1,
∴y'=12·12x+1·(2x+1)'=12x+1.
(4)∵y=cs(-2x)+32x+1,
∴y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3
=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.
易错警示
求函数的导数时,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可.
7.B ∵f(x)=sin 2x,∴f'(x)=2cs 2x,
∴f'(0)=2,∴曲线y=f(x)=sin 2x在原点处的切线方程是y=2x.故选B.
8.答案 A
信息提取 ①铯137衰变的过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=600·2-t30;②求M'(30).
数学建模 本题以放射性同位素铯137衰变过程为背景,构建函数模型,利用导数知识求出铯137含量M在t=30时的瞬时变化率,即求出函数M(t)的导函数,令t=30,得到含量M在t=30时的瞬时变化率.
解析 易得M'(t)=-130×600×2-t30×ln 2=-20×2-t30×ln 2,所以铯137含量M在t=30时的瞬时变化率(单位:太贝克/年)为M'(30)=-20×2-1ln 2=-10ln 2,故选A.
9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2x+8,∴f'(1)=10,
∴limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx
=-2limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx
=-2f'(1)=-20.故选C.
10.B 设切点为P(x0,y0),
则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),
∵y=ln(x+a),∴y'=1x+a,∵直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,∴1x0+a=1,∴x0+a=1,∴y0=ln(x0+a)=0,
∴x0=y0-1=-1,∴a=1-x0=2.故选B.
11.B 令ln x=t,则x=et,代入f(ln x)=x+1x得f(t)=et+1et=1+1et=1+e-t,
∴f'(t)=-1et,∴f(0)f'(0)=1+1-1=-2.故选B.
12.答案 2
解析 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=(eax)·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
13.答案 y=2x-1
解析 设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=ex-2+x,∴f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,
又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.
14.解析 因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,
所以f '(x)=2a(x-5)+6x,
则f '(1)=6-8a.
令x=1,得f(1)=16a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).
由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,
解得a=12.
能力提升练
1.C 根据题意得f(x)=lnx(x>0),ln(−x)(x<0).
分两种情况讨论:
(1)x>0时,f(x)=ln x⇒f'(x)=(ln x)'=1x;
(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x)
=[ln(-x)]'=1-x·(-1)=1x.故选C.
2.B 由题意知f(x+5)=f(x),
∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),
又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),
即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,
∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.
3.D 原式两边求导,得-20(1-2x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,令x=1,得20=a1+2a2+3a3+…+10a10.故选D.
4.B 由题意得f'(x)=(x+1)ex-a,则f'(a)=a+1,因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线方程为y=3x+b,所以f'(a)=3,所以a=2,所以f(x)=xex-2,所以f(2)=2·e2-2=2,所以切点为(2,2),将(2,2)代入切线方程,并整理得b=-4,则a+b=-2.故选B.
5.A 因为函数f(x)=ex+a·e-x是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,
所以e-x+a·ex=-ex-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(ex+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,
因此f(x)=ex-e-x,故f'(x)=ex+e-x.
由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=ex-e-x=0,解得x=0.
所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),
切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.
故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.
6.AD 根据题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,最小正周期T=4×2π3-π6=2π,∴ω=2πT=1.
根据“五点法”知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,
∴φ=π3+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<π2,∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3,
∴f'(x)=2csx+π3,
∴g(x)=f(x)+f'(x)
=2sinx+π3+2csx+π3
=22sinx+π3+π4
=22sinx+7π12,
令x+7π12=π2+kπ,k∈Z,
解得x=-π12+kπ,k∈Z,
∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k∈Z,A正确;
当x+7π12=π2+2kπ,k∈Z,即x=-π12+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值22,B错误;
易知g'(x)=22csx+7π12,
∵g'(x)≤22<3,
∴不存在点P,使得函数g(x)的图象在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;
方程g(x)=2,即22sinx+7π12=2,
∴sinx+7π12=22,
∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,
∴方程g(x)=2的两个不同的实数解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.
7.答案 4
解析 对y=ln(x+b)求导得y'=1x+b,因为直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0,y0),所以1x0+b=1,即x0=1-b,所以y0=ln(x0+b)=ln(1-b+b)=0,所以切点为(1-b,0),
由切点(1-b,0)在直线y=x-a上可得1-b-a=0,即a+b=1,所以1a+1b=1a+1b·(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.
所以1a+1b的最小值是4.
8.答案 1-ln 2
解析 设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),
则f'(x)=1x,g'(x)=1x+1.
设曲线f(x)上的切点为(x1,y1),曲线g(x)上的切点为(x2,y2),
则k=1x1=1x2+1,则x2+1=x1.
又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,
所以k=y1-y2x1-x2=2,
故x1=1k=12,y1=ln12+2=2-ln 2.
故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
9.解析 (1)由f(x)=aexln x+bex-1x,
得f'(x)=(aexln x)'+bex-1x'
=aexln x+aexx+bex-1x-bex-1x2.
(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程,得y=2,
将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,
所以b=2.
将x=1代入导函数f'(x)中,
得f'(1)=ae=e,
所以a=1.
10.解析 由f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,
得f '(x)=3-2sin 2x+2cs 2x,
则a=f 'π4=3-2sin π2+2cs π2=1.
又b=a3,∴b=1,∴点P的坐标为(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
当P点为切点时,切线的斜率k=3×12=3,
∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),
此时切线的斜率k'=3x02,∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).
将P(1,1)代入切线方程,
得1-x03=3x02(1-x0),
∴2x03-3x02+1=0,∴2x03-2x02-x02+1=0,∴(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=-12(x0=1舍去),∴切点坐标为-12,-18,
又切线的斜率为3×-122=34,
∴切线方程为y+18=34x+12,即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.