人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测7 试卷

这是一份人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测7 试卷，共6页。
第七章　综合检测考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数的虚部是(　D　)A．－ B．－C． D．[解析]　因为z＝＝＝＋i，所以复数z＝的虚部为．故选D．2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　C　)A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i[解析]　设z＝a＋bi，则＝a－bi,2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，z＝1＋i，故选C．3．已知复数z＝i，则＝(　C　)A．1＋i B．1－iC． D．1[解析]　已知复数z＝i，则＝＝1－i⇒|1－i|＝．4．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，z对应的点位于(　D　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]　由题可知z＝＝＝＝＝1－i，所以z对应的点为(1，－1)，位于第四象限．5．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋4i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　B　)A．3＋2i B．3－2iC．－3－i D．－3＋i[解析]　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋4i＝0．即解得所以z＝3－2i．6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2(　A　)A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称[解析]　复数z1，z2满足z1＝2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称．7．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝(　A　)A．1或－1 B．或－C．－ D．[解析]　由题意，复数z＝a－i，则＝a＋i，所以z·＝(a－i)(a＋i)＝a2＋3＝4，所以a2＝1，即a＝1或a＝－1．8．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数ei的虚部为(　B　)A．－ B．C．－i D．i[解析]　根据欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，可得ei＝cos ＋isin ＝＋i，所以ei的虚部为．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在(　ABC　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]　∵θ∈，∴cos θ＞0，sin θ＜0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为(　BD　)A．－i B．－1C．1 D．i2[解析]　2＝＝－1．11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是(　BC　)A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2[解析]　|i|＝|1|，故A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故选BC．12．若复数z＝(a－i)·i，a是下列区间内的任意实数，则可以使|z|≤2恒成立的是 (　AB　)A．[－1,0) B．[－1,1]C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]　因为z＝(a－i)·i＝1＋ai，所以|z|＝≤2，解得－≤a≤．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．2 021＝__i__．[解析]　＝＝i，所以2 021＝i2 021＝i505×4＝i1＝i．14．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为__(1，－1)__．[解析]　复数z＝＝＝＝1－i，则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．15．已知a，b∈R，复数z＝a－i且＝1＋bi(i为虚数单位)，则ab＝__－6__．[解析]　因为z＝a－i，所以＝＝1＋bi，即a－i＝(1＋i)(1＋bi)＝1＋bi＋i－b＝(b＋1)i＋1－b，根据左右两边对应相等有⇒所以ab＝－6．16．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝__2i__；|z|＝____．[解析]　由题意，根据复数的运算，化简得z＝＝＝－1－i，所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．(1)若z为纯虚数，求|3＋z|．(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．[解析]　(1)若z为纯虚数，则所以a＝0，故z＝i，所以|3＋z|＝．(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则解得a＞1．18．(本小题满分12分)计算：(1)．(2)＋．[解析]　(1)＝＝＝＝＝－－i．(2)＋＝－＝＝－1．19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．(1)求复数z及．(2)若ω＝，求复数ω的模．[解析]　(1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，所以z＝3＋i，＝3－i．(2)由(1)可得ω＝＝＝＝＝－i，所以|ω|＝＝＝．20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i．(1)求复数z的共轭复数及|z|．(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．[解析]　(1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i．z＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i＝－3＋3i，|z|＝＝3．(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以解得a＝－1．所以实数a＝－1．21．(本小题满分12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|．(1)求z．(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．[解析]　(1)因为w－4＝(3－2w)i，所以w(1＋2i)＝4＋3i，所以w＝＝＝2－i，所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i．(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，因为p，q为实数，所以解得p＝6，q＝10．解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i．所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i．22．(本小题满分12分)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求(1)|z|的最大值和最小值；(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．[解析]　(1)满足条件|z＋＋i|≤1的复数z的几何意义为圆心为(－，－1)，半径为1的圆及其内部，|z|则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为＝2，所以|z|max＝3，|z|min＝1．(2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2，∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为20，最小值为4．