人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测8 试卷

这是一份人教A版 (2019)数学必修 第二册 综合检测8 试卷，共10页。
第八章　综合检测
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是(　A　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

2．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(　C　)
A．64π cm2 B．36π cm2
C．64π cm2或36π cm2 D．48π cm2
[解析]　分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　B　)
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
[解析]　由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
4．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　B　)
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
[解析]　∵A，B，C，D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错．如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B正确．当任意三点不共线时，也满足条件，C错．当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，D错．
5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(　C　)

A． B．
C． D．
[解析]　过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，∴cos ∠AFH＝．
6．E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是(　C　)

A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　在△ACD中，∵G，F分别为AD与CD的中点，∴GF∥AC．而GF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，∴AC∥平面EFG．同理，BD∥平面EFG．故选C．
7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　A　)
A． B．16π
C．9π D．
[解析]　如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O′．∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，

∴AO′＝．∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A．
8．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　如图，分别取棱BC，AC的中点D，H，连接DE，DF，PH，BH．由题意可得PH⊥AC，BH⊥AC，则AC⊥平面PBH．因为PB⊂平面PBH，所以AC⊥PB．因为D，F分别是棱BC，PC的中点，所以DF∥PB，则∠DFE是异面直线EF与PB所成的角．因为D，E分别是棱BC，AB的中点，所以DE∥AC，则DF⊥DE．设AB＝4，则PH＝BH＝2，DE＝AC＝2．因为平面PAC⊥平面ABC，且PH⊥AC，所以PH⊥BH，所以PB＝＝2，所以DF＝，则EF＝＝，故sin∠DFE＝＝＝．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是(　ABC　)
A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台
[解析]　以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误；有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误；根据棱台的定义，可得D正确．故选ABC．
10．如图，在平行六面体ABCD　－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　ACD　)

A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1
[解析]　连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P．故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确．故选ACD．
11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(　ABD　)

A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
[解析]　∵QM∥PN，∴QM∥平面ABD，∴QM∥BD，同理可得AC∥MN，∵QM∥BD，AC∥MN，MN⊥QM，∴AC⊥BD，A正确；∵AC∥MN，∴AC∥截面PQMN，B正确；∵QM∥BD，AC∥MN，∴＋＝1，C不一定正确；∵QM∥BD，∴异面直线PM与BD所成的角为∠PMQ＝45°，D正确．故选ABD．
12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　BC　)

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
[解析]　取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A选项错误；∵A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．故选BC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．
[解析]　∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，
∴该圆柱的高h＝1，底面周长2πr＝1，∴底面半径r＝，
∴该圆柱的体积V＝π××1＝．
14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为__12__厘米．
[解析]　V＝Sh＝πr2h＝πR3，
R＝＝12(cm)．
15．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β．
上述命题中，正确命题的序号是__②④__．
[解析]　对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．

16．(2020·全国Ⅰ卷理)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos ∠FCB＝　__－__．

[解析]　∵AB⊥AC，AB＝，AC＝1，由勾股定理得BC＝＝2，
同理得BD＝，∴BF＝BD＝，在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝，∠CAE＝30°，
由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos 30°＝1＋3－2×1××＝1，
∴CF＝CE＝1，在△BCF中，BC＝2，BF＝，CF＝1，
由余弦定理得cos ∠FCB＝＝＝－．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH．长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥P－EFGH的高为60 cm．

(1)求该安全标识墩的体积；
(2)求该安全标识墩的侧面积．
[解析]　(1)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．
(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合三视图可知OP＝60 cm，OG＝EG＝20 cm，

可得PG＝＝20(cm)．
于是四棱锥P－EFGH的侧面积S1＝4××40×＝1 600(cm2)，
四棱柱EFGH－ABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200(cm2)，
故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(＋2)(cm2)．
18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

[解析]　不会溢出杯子．理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球