2022-2023学年湘教版2019必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷(word版含答案)

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、(4分)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是（   ）

A.4      B.9      C.8      D.13

3、(4分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为(   )

A. B.或 C. D.或

4、(4分)若,则的最大值为(   )

A. B. C.2 D.4

5、(4分)若不等式对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(   ).

A. B. C. D.

6、(4分)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:

①生产1单位试剂需要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成:③后续保养的费用是每单位元(试剂的总产量为x单位,).则要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为(   )

A.60单位 B.70单位 C.80单位 D.90单位

7、(4分)已知某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的值不可以是(   )

A.60 B.80 C.100 D.110

8、(4分)给出下列四个关于实数的不等关系的推理：

①，

②，

③，

④

其中推理正确的序号为（   ）

A.①②              B.①③             C. ①②③             D. ①②③④

9、(4分)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是(   )

A.         B．       C.         D.

10、(4分)已知，且，则mn有(   )

A.最大值1 B.最大值2 C.最小值1 D.最小值2

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知，，给出下列四个不等式：
①；

②；

③；

④.其中正确的不等式有____________.（填上所有正确的序号）

12、(5分)给出下列命题：

①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则.

其中正确命题的序号是___________.（填上所有正确的序号）

13、(5分)对于实数x，当时，规定，若，则________，不等式的解集为_______.

14、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.

15、(5分)已知，，且满足，则的最小值为_____________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.

17、(9分)已知正数a，b满足.

（1）若，，求的值；

（2）求的最大值.

18、(9分)已知函数的最小值为m.

(1)求m；

(2)若正实数a，b，c满足，求的最小值.

19、(9分)已知关于的方程.

（1）当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；

（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：，当且仅当，即时取等号，不等式对任意a，恒成立，，，实数x的取值范围是.故选：C.

2、答案：B

解析：

3、答案：B

解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.

4、答案：A

解析：,当且仅当时,等号成立,

,又，当且仅当,即时，等号成立，

,

当且仅当即时,等号成立,

的最大值为.故选A.

5、答案：C

解析：当,即时,可化为,

即不等式恒成立;当,即时,因为对一切实数x恒成立,所以解得.综上所述,.

6、答案：D

解析：设每生产1单位试剂的成本为y,因为试剂总产量为x单位,则由题意可知,原料总费用为元,职工的工资总额为元,后续保养总费用为元,则，当且仅当,即时取等号,满足,所以要使生产每单位试剂的成本最低,试剂总产量应为90单位.故选D.

7、答案：D

解析：∵汽车以120 k/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,

,解得,故每小时的油耗为,

由题意得,解得,又,故速度x的取值范围为[60,100].故选D.

8、答案：B

解析：

9、答案：D

解析：因为b克糖水中含a克糖,所以糖水的“甜度”为,再加入克糖,糖水的“甜度”为,因为糖水更甜了,所以.

10、答案：A

解析：，且，，当且仅当时取等号，有最大值1.故选A.

11、答案：①②③

解析：本题考查基本不等式的应用.，，
①，当且仅当时取等号；
②，当且仅当时取等号；
③，，，当且仅当时取等号；
④，当且仅当，即时等号成立，而，，不能取等号.显然当时，，所以④不正确.综上所述，①②③正确.

12、答案：②

解析：本题考查利用不等式的性质判断大小.①当时，不成立，故①不正确；
②由知，所以，即，
所以，故②正确；

③当，，命题不成立，故③不正确；
④当时，，故④不正确.

13、答案：20，

解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.

14、答案：5

解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.

15、答案：7

解析：，由，

可得，当且仅当，即时等号成立，

则最小值为7.

16、答案： (1)见解析(2) 见解析

解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立；

(2)要使,
只至至,

左边

则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立.

17、答案：（1）3

（2）见解析

解析：（1）由，可得，则.

（2）由（1）得，，
则

，
当且仅当中，即时，等号成立.

18、答案：(1).

(2)最小值为.

解析：(1)因为

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有最小值，最小值为4，

即.

(2)由(1)知，可得.

又a，b，c为正实数，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

19、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）若关于的方程有两个负根，

只需：，即；

且两根之和，即；

以及两根之积，即或.

综上所述，，

即实数的取值范围为.

（2）关于的方程有一个正根和一个负根时，

只需其对应的二次函数满足，

即，解得.

故实数的取值范围为：.