2022-2023学年湘教版（2019）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（含答案）

湘教版（2019）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知不等式的解集为，则不等式的解集为(   )

A.  B.或

C.  D.或

2、在R上定义运算，则满足的实数x的取值范围为(   )

A.  B. 

C.  D.

3、若，则的最小值是(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

4、下列说法正确的是(     )

A.若,则          B.若,,则

C.若,则  D.若,,则

5、对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能是(   )

A.或 B.R

C.  D.

6、已知关于x的方程的两个实数根，满足，则实数m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7、若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

8、若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是(   )

A. B.或

C. D.或

9、已知，不等式恒成立，则x的取值范围为(   )

A. B. C. D.

10、若，，则一定有(   ).

A. B. C. D.

二、填空题

11、已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为_______.

12、已知，则的最小值为___________.

13、若,,且,则的最小值为________.

14、已知，，且，则的最大值是__________.

15、已知，若正数a，b满足，则的最小值为_____________.

16、给出下列说法：

①若，，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则.

其中说法正确的序号是___________.

三、解答题

17、解关于x的不等式.

18、已知方程，若方程的一个根小于2，另一个根大于4，求实数m的取值范围.

19、已知关于x的不等式为整数集.

（1）求不等式的解集A.

（2）对于上述集合A，设，探究B能否为有限集？若能，求出元素个数最少时的集合B；若不能，请说明理由.

20、已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.

参考答案

1、答案：B

解析：由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.故选B.

2、答案：B

解析：由题意得，解得.故选B.

3、答案：C

解析：因为，，当且仅当，时取到等号，故的最小值是3.

故选：C.

4、答案：D

解析：对于A选项,若且,则,该选项错误；

对于B选项,取,,,,则,均满足,但,B选项错误；

对于C选项,取,,则满足,但,C选项错误；

对于D选项,由不等式的性质可知该选项正确,故选： D.

5、答案：B

解析：当时，不等式可化为，解得或；当时，不等式可化为，此时不等式无解；当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，此时不等式无解；当时，不等式可化为，解得.故A、C、D都有可能，B不可能.故选B.

6、答案：D

解析：设，由题意可得，，即，即，解得.故选D.

7、答案：C

解析：由题意，两个正实数x，y满足，

则，

当且仅当，即，时，等号成立，

又由恒成立，可得，即，

解得，即实数m的取值范围是.

故选：C.

8、答案：C

解析：由题意可知，1和2是关于x的方程的解，将其代入方程得解得，

所以即，化简得，解得.

即不等式的解集是.

故选：C

9、答案：C

解析：令，

则不等式恒成立转化为恒成立.

有，即，

整理得：，解得：或.x的取值范围为.故选：C.

10、答案：A

解析：根据，有，由于，两式相乘有，，

故选：A.

11、答案：9

解析：本题考查圆的标准方程、利用基本不等式求最值.由题意可知直线过圆心，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9.

12、答案：

解析：

13、答案：3

解析:由题意得,

所以

,当且仅当,即时,等号成立.

14、答案：

解析：解：因为，，且，所以，，

，

当时，取最小值，

所以取最大值，

故的最大值是.

故答案为：.

15、答案：1

解析：因为，所以为奇函数且为增函数，

，

，

即，

则

，

当且仅当时取“=”，

则的最小值为1.

16、答案：②

解析：①当时，不成立，故①不正确；②由知，所以，即，所以，故②正确；③当，，命题不成立，故③不正确；④当时，，故④不正确.故答案为②.

17、答案：当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为或

解析：由已知得，对应方程的两根为，.
①当，即时，或；
②当，即时，或；
③当，即时，.
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为或.

18、答案：
解析：设，由图像我们容易知道，

，
解得.

19、

（1）答案：见解析

解析：解：当时，不等式可化为，所以，所以.

当时，方程的解为，，所以，所以.

当时，方程的解为，.又，当且仅当时等号成立，所以或，所以或.

综上，当时，；

当时，；

当时，或.

（2）答案：见解析

解析：能.理由：由(1)可得，若B为有限集，则.

又当时，，

当且仅当时等号成立，

所以当时，集合B中的元素个数最少，

此时.

20、答案： (1)见解析(2) 见解析

解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立；

(2)要使,
只至至,

左边

则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边

当且仅当 ，即 时等号成立.