湘教版高中数学必修第一册第2章 章末综合提升课件+学案+章末综合测评含答案

类型1　不等式的性质及应用

本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．

【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B B．A≥B

C．A<B或A>B D．A>B

(2)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0

(1)B　(2)C　[(1)∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0，故A≥B．

(2)c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.

对于A：⇒ab＞ac，A正确．

对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确．

对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．

对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确．故选C．]

1．已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围．

[解]　因为－2<b<－1，

所以1<－b<2，

又因为2<a<3，

所以2<－ab<6，

所以－6<ab<－2.

因为－2<b<－1，所以1<b2<4，

因为2<a<3，所以<<，

所以<<2.

类型2　基本不等式及其应用

基本不等式≤(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2.其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．

【例2】　(1)已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．

(2)设x<－1，求y＝的最大值．

(1)　[因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，

所以xy＝(2x·3y)≤·＝×＝.

当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.]

(2)[解]　∵x<－1，

∴x＋1<0.

∴－(x＋1)>0，

∴y＝＝

＝＝(x＋1)＋＋5

＝－＋5

≤－2＋5＝1，

当即x＝－3时，取“＝”．

2．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值是________________，

＋的最小值是________．

2　　[∵a＋2b－4＝0，且a>0，b>0，

∴4＝a＋2b≥2，

∴ab≤2.

当且仅当a＝2b即a＝2，b＝1时等号成立．

＋＝×(a＋2b)

＝

≥

＝.

当且仅当＝，即a＝b时等号成立．]

类型3　一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．

【例3】　(1)若不等式ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b<x<1}，求a，b的值；

(2)求关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(其中a>0)的解集．

[解]　(1)将x＝1代入ax2＋3x＋2＝0，可得a＝－5，

所以不等式ax2＋3x＋2>0即为不等式－5x2＋3x＋2>0，可转化为(x－1)(5x＋2)<0，

所以原不等式的解集为，所以b＝－.

(2)不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.

当－<－1，即0<a<3时，原不等式的解集为；

当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；

当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为.

综上所述，当0<a<3时，原不等式的解集为；

当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；

当a>3时，原不等式的解集为.

3．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则a的取值范围为(　　)

A．－<a<1

B．－≤a≤1

C．－<a≤1或a＝－1

D．－<a≤1

D　[当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，则原不等式可化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，则原不等式可化为2x－1<0不是恒成立，所以a＝－1舍去；

当a2－1≠0时，因为x2－x－1<0的解集为R，

所以只需

解得－<a<1．

综上，a的取值范围为－<a≤1．故选D．]

类型4　不等式在实际问题中的应用

不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．

【例4】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

[解]　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，

由a2x＝4 000，得a＝.

则S＝(a＋8)(ax＋20)

＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x>1)．

(2)80＋4 160

≥80×2＋4 160

＝1 600＋4 160＝5 760.

当且仅当2＝，

即x＝2.5时，等号成立，

此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．

4．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

[解]　设花卉带的宽度为x m(0<x<300)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100米．

1．(2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(　　)

A．{－4,1} B．{1,5}

C．{3,5} D．{1,3}

D　[由x2－3x－4<0，得－1<x<4，即集合A＝{x|－1<x<4}，又集合B＝{－4,1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}，故选D．]

2．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab

C．a＋b≥2 D．a2＋b2≤－2ab

B　[对于A，显然当a<0，b>0时，不等式a2＋b2≤2ab不成立，故A错误；对于B，∵(a＋b)2≥0，∴a2＋b2＋2ab≥0，∴a2＋b2≥－2ab，故B正确；对于C，显然当a<0，b<0时，不等式a＋b≥2不成立，故C错误；对于D，显然当a>0，b>0时，不等式a2＋b2≤－2ab不成立，故D错误．故选B．]

3．(2020·上海春季高考)不等式>3的解集为__________．

　[由>3得>0，

则x(1－3x)>0，即x(3x－1)<0，解得0<x<.]

4．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________．

4　[a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋＝＋＝＋≥2＝4，

当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋时取等号．]

5．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．

　[法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，

由x2≥0，可得y2∈(0,1]，

则x2＋y2＝＋y2＝＝(4y2＋)

≥·2＝，当且仅当y2＝，x2＝，

可得x2＋y2的最小值为.

法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，

故x2＋y2≥，

当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，

可得x2＋y2的最小值为.]