第二章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第二章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共16页。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式(x+1)(2-x)<0的解集是 (　　)
A.{x|x>-1} B.{x|x<1}
C.{x|-12}
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 (　　)
A.M>N B.M≥N
C.M 3.设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k= (　　)
A.3 B.32 C.23 D.13
4.已知实数0 A.a2>1a>a>-a B.a>a2>1a>-a
C.1a>a>a2>-a D.1a>a2>a>-a
5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.-1 C.-2 6.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是 (　　)
A.12 B.-12 C.16 D.-16
7.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则a2bc+b2ca+c2ab的值为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值是 (　　)
A.0 B.1 C.94 D.3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.若非零实数a,b满足a A.ab<1 B.ba+ab≥2
C.1ab2<1a2b D.a2+a 10.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-12 A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c>0
11.下列结论正确的是 (　　)
A.当x>0时,x+1x≥2
B.当x>3时,x+1x的最小值是2
C.当x<32时,2x-1+42x-3的最小值是4
D.设x>0,y>0,且2x+y=1,则2x+1y的最小值是9
12.已知关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b,则下列结论正确的是 (　　)
A.当a B.当a=2时,不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集可以写成{x|c≤x≤d}(c,d为实数)的形式
C.如果不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b=43
D.如果不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知a>b,a-1a>b-1b同时成立,则ab应满足的条件是　　　　　　　. 
14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为x|13 15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,若对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　. 
16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2+b2a-b的最小值为　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①A={x|x2-2x-3<0},②A=x|2x-2x+1<1,③A={x||x-1|<2}这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.
设全集U=R,　　　　,B=[0,4),求A∩B,(∁UA)∪B. 
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.









18.(本小题满分12分)已知a>0,b>0,且(a+b)ab=1.
(1)求1a3+1b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.








19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0,命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.













20.(本小题满分12分)2020年年初,新冠肺炎疫情袭击全国,在党和国家强有力的抗疫领导下,我国控制住了疫情,之后一方面防止境外输入,另一方面复工复产.某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,该商品的售价每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元,公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的年销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和?并求出此时该商品的每件定价.













21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2







22.(本小题满分12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集为⌀,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集为D,且{x|-1≤x≤1}⊆D,求实数m的取值范围.






答案全解全析
一、单项选择题
1.D　由(x+1)(2-x)<0得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2,故选D.
2.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,∴M>N.故选A.
3.D　因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),所以a·kb≤a+kb22=1,当且仅当a=kb=1时取等号,所以ab≤1k.因为ab的最大值为3,所以1k=3,所以k=13.故选D.
4.C　∵01,-1<-a<0,
0a>a2>-a.故选C.
5.A　当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立;
当m≠0时,原不等式恒成立需满足m<0,Δ=4m2+4m<0,解得-1 综上可得原不等式恒成立的充要条件为-1 结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是-1 6.A　∵ab=2(a+b)+5,
∴a+b=ab-52.
∵a>0,b>0,
∴a+b=ab-52≥2ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,∴ab≥25,
∵y=(a+b-4)(12-a-b)
=ab-52-412-ab-52
=-14(ab-21)2+16,
∴ymax=12.故选A.
7.D　设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,则at2+bt+c=0①,bt2+ct+a=0②,ct2+at+b=0③.
①+②+③,得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,
∴(a+b+c)(t2+t+1)=0.
∵t2+t+1=t+122+34>0,
∴a+b+c=0,∴a+b=-c,
∴a2bc+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=a3+b3-(a+b)3abc
=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)abc=-3ab(a+b)abc=-3ab(-c)abc=3.故选D.
8.B　由题意得xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x+1y-2z=-1y2+2y=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.
二、多项选择题
9.ABD　当a 当ab<0时,ab+ba≥2不成立;
因为1ab2-1a2b=a-b(ab)2<0,所以1ab2<1a2b一定成立;
因为a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1)的符号不确定,所以a2+a 故选ABD.
10.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-120,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.
11.AD　对于选项A,当x>0时,x>0,x+1x≥2x×1x=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;
对于选项B,当x>0时,x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时取等号,但x>3,等号取不到,因此x+1x的最小值不是2,故B错误;
对于选项C,因为x<32,所以3-2x>0,
所以2x-1+42x-3=-3-2x+43-2x+2≤-2(3-2x)·43-2x+2=-2,当且仅当3-2x=43-2x,即x=12时取等号,故C错误;
对于选项D,因为x>0,y>0,2x+y=1,所以2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2yx+2xy≥5+22yx·2xy=9,当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时取等号,故D正确.故选AD.
12.AD　由34x2-3x+4≤b,可得3x2-12x+16-4b≤0,因为b<1,所以Δ=(-12)2-4×3×(16-4b)=48(b-1)<0,所以不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集为⌀,故A正确.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1的图象以及直线y=a和直线y=b,如图所示,

设直线y=a与函数图象交于点C,D(C在D的左侧),直线y=b与函数图象交于点A,B(A在B的左侧),由图可知,当a=2时,不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集可以写成{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式,故B错误.
令y=34x2-3x+4,由不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},可知a≤ymin,即a≤1,且当x=a,x=b时,函数y=34x2-3x+4的值都是b.
由34b2-3b+4=b,解得b=43或b=4.
当b=43时,由34a2-3a+4=b=43,解得a=43或a=83,不满足a≤1,不符合题意,故C错误.
当b=4时,由34a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4(舍去),此时b-a=4-0=4,故D正确.
故选AD.
三、填空题
13.答案　ab<-1或ab>0
解析　因为a-1a>b-1b,所以a-1a-b-1b=(a-b)(ab+1)ab>0.
又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.
14.答案　-6;-1
解析　由题意知a<0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为13,12,由根与系数的关系得-5a=13+12,ca=13×12,解得a=-6,c=-1.
15.答案　{m|1≤m<19}
解析　①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;
若m=1,则y=3>0恒成立.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,
m2+4m-5>0,16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0,
∴m<-5或m>1,1 综上可知,1≤m<19.
16.答案　22
解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合题意;
当a≠0时,依题意知a>0,4-4ab≤0⇒a>0,ab≥1.
又存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0⇒ab≤1,
因此ab=1,且a>0,从而b>0.
又∵a>b,∴a-b>0,
∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b
=(a-b)+2a-b≥22,
当且仅当a-b=2,即a=6+22,b=6-22时,等号成立.
四、解答题
17.解析　选①.易知A={x|x2-2x-3<0}=(-1,3), (2分)
∴∁UA=(-∞,-1]∪[3,+∞). (4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3), (7分)
(∁UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞). (10分)
选②.易知A=x|2x-2x+1<1=(-1,3), (2分)
∴∁UA=(-∞,-1]∪[3,+∞), (4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3), (7分)
(∁UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞). (10分)
选③.易知A={x||x-1|<2}=(-1,3), (2分)
∴∁UA=(-∞,-1]∪[3,+∞), (4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3), (7分)
(∁UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞). (10分)
18.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)ab=1,
∴a+b=1ab, (1分)
又a+b≥2ab当且仅当a=b=22时取等号, (2分)
∴1ab≥2ab,∴ab≤12. (3分)
(1)1a3+1b3≥21a3·1b3=2abab≥42,
当且仅当a=b时取等号. (6分)
(2)∵a>0,b>0,∴12a+13b≥212a·13b=26ab≥233,当且仅当2a=3b时等号成立.(10分)
∵63<233,∴不存在a,b,使得12a+13b的值为63. (12分)
19.解析　(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m对x∈R恒成立,因此3-2m<0,解得m>32.
因此,实数m的取值范围是m|m>32. (4分)
(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.
因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}. (8分)
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈m|m>32∪{m|m<-1或m>2}=m|m<-1或m>32. (12分)
20.解析　(1)设每件定价为t元.
依题意得8-t-251×0.2t≥25×8, (2分)
整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40. (4分)
所以要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为40元. (5分)
(2)依题意知,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+15x成立, (6分)
等价于x>25时,a≥150x+16x+15有解. (8分)
因为150x+16x+15≥2150x·16x+15=10.2,当且仅当150x=16x,即x=30时,等号成立,所以a≥10.2. (10分)
故当该商品改革后的年销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. (12分)
21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立. (1分)
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)
当a≠0时,需满足a>0,(1-a)2-4a2≤0,
解得a≥13. (5分)
所以实数a的取值范围是a|a≥13. (6分)
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}. (7分)
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,
所以不等式的解集为x-1a 当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1}; (9分)
②当-11,不等式的解集为x|x<1或x>-1a; (10分)
③当a<-1时,-1a<1,不等式的解集为x|x<-1a或x>1. (11分)
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为x|x<-1a或x>1;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1-1a;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为x-1a 22.解析　(1)①当m+1=0,即m=-1时,y=x-2,不符合题意,舍去; (2分)
②当m+1≠0,即m≠-1时,需满足
m+1>0,Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)≤0,
解得m≥233. (4分)
综上,实数m的取值范围是233,+∞. (6分)
(2)由题意得,对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,
即对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.
∵x2-x+1=x-122+34>0恒成立,
∴对任意的x∈[-1,1],m≥-x2+1x2-x+1=-1+2-xx2-x+1恒成立,
∴m≥-x2+1x2-x+1max,x∈[-1,1]. (8分)
设t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t,
∴2-xx2-x+1=t(2-t)2-(2-t)+1=tt2-3t+3=1t+3t-3,
∵t+3t≥23,当且仅当t=3时取等号,
∴2-xx2-x+1≤123-3=23+33,当且仅当x=2-3时取等号, (10分)
∴当x=2-3时,-x2+1x2-x+1取得最大值,最大值为-1+23+33=233,
∴实数m的取值范围是233,+∞. (12分)