初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理随堂练习题
展开2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.2勾股定理的逆定理
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共22题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020春•海安市期中)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A.4,6,8 B.6,8,9 C.7,24,25 D.5,11,12
【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可.
【解析】A、62+42≠82,不可以组成直角三角形,故此选项不符合题意;
B、62+82≠92,不可以组成直角三角形,故此选项不符合题意;
C、72+242=252,可以组成直角三角形,故此选项符合题意;
D、52+112≠122,不可以组成直角三角形,故此选项不符合题意;
故选:C.
2.(2019秋•江苏省常熟市期中)由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.∠A﹣∠B=∠C
C.a=1,b=2,c=5 D.(b+c)(b﹣c)=a2
【分析】根据直角三角形的定义,以及勾股定理的逆定理判断即可.
【解析】A、由题意:∠C=512×180°=75°,△ABC是锐角三角形,本选项符合题意.
B、∵∠A﹣∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,本选项不符合题意.
C、∵a=1,b=2,c=5,∴a2+b2=c2,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,本选项不符合题意.
D、∵(b+c)(b﹣c)=a2,∴b2﹣c2=a2,∴b2=a2+c2,∴△ABC是直角三角形,本选项不符合题意.
故选:A.
3.(2019秋•江苏省海陵区校级期中)下列各组数不能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.6,8,10 C.32,42,52 D.5,12,13
【分析】欲判断能否构成直角三角形,只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.
【解析】A、32+42=52,能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
B、62+82=102,能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
C、因为32=9,42=16,52=25,92+162≠252,不能构成直角三角形,故此选项符合题意;
D、52+122=202,能构成直角三角形,故此选项不符合题意.
故选:C.
4.(2019秋•江苏省沭阳县期中)满足下列条件的三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三边长满足关系a+b=c
B.三角形的三边长之比2:3:4
C.三角形的三边长分别为5、12、13
D.三角形的一边长等于另一边长的一半
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.
【解析】A、三角形的三边满足关系a+b=c,不符合勾股定理的逆定理,故本选项错误;
B、∵22+32=13≠42=16,∴此三角形不是直角三角形,故本选项错误;
C、∵52+122=132,∴此三角形是直角三角形,故本选项正确;
D、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状,故本选项错误.
故选:C.
5.(2019秋•江苏省苏州期中)D是△ABC中BC边上的一点,若AC2﹣CD2=AD2,则AD是( )
A.BC边上的中线 B.∠BAC的角平分线
C.BC边上的高线 D.AC边上的高线
【分析】根据题意画出图形,再根据已知条件判断出△ACD的形状,再根据高线的定义解答即可.
【解析】如图所示:
∵AC2﹣CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴AD⊥BC,
则AD是BC边上的高线,
故选:C.
6.(2019秋•江苏省阜宁县期中)下列各组数中,不是勾股数的是( )
A.3,4,6 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15
【分析】欲判断是否为勾股数,必须根据勾股数是正整数,同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.
【解析】A、32+42≠62,不是勾股数,此选项正确;
B、72+242=252,是勾股数,此选项错误;
C、62+82=102,是勾股数,此选项错误;
D、92+122=152,是勾股数,此选项错误.
故选:A.
7.(2019秋•江苏省镇江期中)已知△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.a:b:c=7:24:25
C.a2=b2﹣c2 D.∠A=∠C﹣∠B
【分析】根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形;根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形.
【解析】A、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∴∠C=53+4+5×180°=75°,故不能判定△ABC是直角三角形;
B、∵72+242=252,∴△ABC为直角三角形;
C、∵a2=b2﹣c2,∴b2=c2+a2,故△ABC为直角三角形;
D、∵∠A=∠C﹣∠B,且∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC为直角三角形.
故选:A.
8.(2019秋•江苏省泰兴市期中)a、b、c为△ABC三边,下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A.a2=c2﹣b2
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.a=3,b=4,c=5
D.a=5k,b=12k,c=13k(k为正整数)
【分析】如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
【解析】A.若a2=c2﹣b2,则△ABC为直角三角形,故本选项不合题意;
B.若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则最大角∠C<90°,△ABC不是直角三角形,故本选项符合题意;
C.若a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,故本选项不合题意;
D.若a=5k,b=12k,c=13k(k为正整数),则a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形,故本选项不合题意.
故选:B.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请把答案直接填写在横线上)
9.(2019秋•江苏省连云港期中)△ABC中,三边之比为3:4:5,且最长边为10m,则△ABC周长为 2400 cm.
【分析】首先根据三边之比设出未知数,然后可确定各边长,再计算出周长即可.
【解析】设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm,
∵最长边为10m,
∴5x=10,
解得:x=2,
∴3x=6,4x=8,
∴6+8+10=24(m)=2400cm,
故答案为:2400.
10.(2019秋•江苏省镇江期中)如图,在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1,点A、B、C都是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 45° .
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形即可得到∠ABC的度数.
【解析】由勾股定理得:AC=BC=22+12=5,AB=32+12=10,
∵AC2+BC2=AB2=10,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
故答案为:45°.
11.(2019秋•江苏省金坛区期中)如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=13,DA=12,则四边形ABCD的面积等于 36 .
【分析】连接AC,先根据勾股定理求出AC的长度,再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状,最后利用三角形的面积公式求解即可.
【解析】连接AC,
∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=AB2+BC2=32+42=5,
在△ACD中,AC2+CD2=25+144=169=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12=36.
故答案为:36.
12.(2019秋•江苏省仪征市期中)已知等腰直角△ABC,∠ABC=90°,AB=BC=4,平面内有一点D,连接CD、AD,若CD=2,AD=6,则∠BCD= 135°或45° .
【分析】根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形,求出∠ACD=90°,再求出∠ACB=45°问题即可解决.
【解析】∵∠ABC=90°,AB=BC=4,
∴AC2=42+42=32,而CD2=4,AD2=62=36,
∴AD2=AC2+CD2,
∴△ACD为直角三角形,∠ACD=90°;
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠ACB=45°,
∴①∠BCD=90°+45°=135°;
②∠BCD=90°﹣45°=45°.
故∠BCD=135°或45°.
故答案为:135°或45°.
13.(2019秋•江苏省南京期中)若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5,则这个三角形最长边上的中线为 54 .
【分析】根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形,再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出即可.
【解析】∵三角形的三边长分别为1.5、2、2.5,
∴1.52+22=2.52,
∴此三角形是直角三角形,斜边长为2.5,
∴这个三角形最长边上的中线为12×2.5=54,
故答案为:54.
14.(2019秋•江苏省金坛区期中)三角形的三边a,b,c满足(a﹣b)2=c2﹣2ab,则这个三角形是 直角三角形 .
【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2=c2,然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可.
【解析】∵(a﹣b)2=c2﹣2ab,
∴a2﹣2ab+b2=c2﹣2ab,
∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
故答案为直角三角形.
15.(2019秋•江苏省淮安区期中)若△ABC三边之比为5:12:13,则△ABC是 直角 三角形.
【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得△ABC是直角三角形.
【解析】设△ABC三边分别为5x,12x,13x,
∵(5x)2+(12x)2=(13x)2,
∴△ABC是直角三角形.
故答案为:直角
16.(2019秋•江苏省连云港期中)如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别在AB,BC边上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当t= 32或125 s时,△PBQ为直角三角形.
【分析】先分别表示出BP,BQ的值,当∠BQP和∠BPQ分别为直角时,由等边三角形的性质就可以求出结论.
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=6cm,∠A=∠B=∠C=60°,
当∠PQB=90°时,∠BPQ=30°,
∴BP=2BQ.
∵BP=6﹣2x,BQ=x,
∴6﹣2x=2x,
解得x=32;
当∠QPB=90°时,∠PQB=30°,
∴BQ=2PB,
∴x=2(6﹣2x),
解得x=125.
答:32或125秒时,△BPQ是直角三角形.
故答案为32或125.
三、解答题(本大题共5小题,共52分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2019秋•邳州市校级月考)如图,在四边形ABCD中,已知AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC,试说明:AC⊥CD.
【分析】在△ABC中,根据勾股定理求出AC2的值,再在△ACD中根据勾股定理的逆定理,判断出AC⊥CD.
【解答】证明:在△ABC中AB⊥BC,根据勾股定理:AC2=AB2+BC2=12+22=5,
∵在△ACD中,AC2+CD2=5+4=9,AD2=9,
∴AC2+CD2=AD2,
∴根据勾股定理的逆定理,△ACD为直角三角形,
∴AC⊥CD.
18.(2019秋•江苏省新吴区期中)在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点,顶点在格点上的三角形叫做格点三角形,如格点三角形△ABC.
(1)△ABC的面积为 2 ;
(2)△ABC的形状为 直角三角形 ;
(3)根据图中标示的各点(A、B、C、D、E、F)位置,与△ABC全等的格点三角形是 △DBC,△DAB,△DAC .
【分析】(1)根据长方形和三角形的面积公式求出即可;
(2)根据勾股定理求出AC、BC、AB的长,再根据勾股定理的逆定理判断即可;
(3)根据全等三角形的判定定理得出即可.
【解析】(1)△ABC的面积为:2×2-12×2×2-12×1×1-12×1×3=2,
故答案为:2;
(2)由勾股定理得:AC=22+22=22,BC=12+12=2,AB=12+32=10,
所以AC2+BC2=AB2,
即∠ACB=90°,
即△ABC是直角三角形,
故答案为:直角三角形;
(3)与△ABC全等的格点三角形是△DBC,△DAB,△DAC,
故答案为:△DBC,△DAB,△DAC.
19.(2020春•海安市期中)古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,那么以a,b,c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形?请说明理由.
【分析】根据m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,然后即可得到a2+b2的值,c2的值,再根据勾股定理的逆定理即可判断以a,b,c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形,本题得以解决.
【解析】以a,b,c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形,
理由:∵m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,
∴c>a,
∵a2+b2=(2m)2+(m2﹣1)2=4m2+m4﹣2m2+1=(m2+1)2,
c2=(m2+1)2,
∴a2+b2=c2,
∴以a,b,c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形.
20.(2019秋•江苏省阜宁县期中)在四边形ABCD中,AC⊥DC,AD=13cm,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm,求四边形ABCD的面积.
【分析】利用勾股定理求出AC的长度,在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形,根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解.
【解析】在Rt△ACD中,
AC=AD2-CD2=132-122=5cm,
在△ABC中,
∵AB2+BC2=9+16=25,
AC2=52=25,
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴四边形ABCD的面积=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12=36cm2.
21.(2019秋•江苏省兴化市期中)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载,公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数,称为勾股数.
【应用举例】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,
当勾为3时,股4=12(9-1),弦5=12(9+1);
当勾为5时,股12=12(25-1),弦13=12(25+1);
当勾为7时,股24=12(49-1),弦25=12(49+1).
请仿照上面三组样例,用发现的规律填空:
(1)如果勾用n(n≥3,且n为奇数)表示时,请用含有n的式子表示股和弦,则股= 12(n2﹣1) ,弦= 12(n2+1) .
【问题解决】
(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下:如果a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1(m为大于1的整数),则a、b、c为勾股数.请你证明柏拉图公式的正确性;
(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1,若用2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,请你找出另外两个数的表达式分别是多少?
【分析】(1)如果勾用n(n≥3,且n为奇数)表示时,则股=12(n2﹣1),弦=12(n2+1);
(2)根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案;
(3)根据弦与股的差为1和勾股数的定义即可得出答案.
【解析】(1)如果勾用n(n≥3,且n为奇数)表示时,则股=12(n2﹣1),弦=12(n2+1);
故答案为:12(n2﹣1),12(n2+1);
(2)∵a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1(m表示大于1的整数)
∴a2+b2=(2m)2+(m2﹣1)2
=4m2+m4﹣2m2+1
=m4+2m2+1
=(m2+1)2=(m2+1)2=c2,
∴a2+b2=c2
∴a、b、c为勾股数;
(3)∵弦与股的差为1,2a2+2a+1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,
∴另外两个数的表达式分别是2a2+2a; 2a+1.
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