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初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理课后复习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理课后复习题，文件包含第02讲勾股定理的逆定理知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第02讲勾股定理的逆定理知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
1. 经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.
2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.
3. 初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.
4. 通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型1直角三角形的判断】
【典例1】（列各组数据2023八下·怀集期中）下为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2、3、7B．5、4、8C．3、5、4 D．2、3、5
【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15B．6， 8， 10
C．5，2，3D．1.5，2.5， 3.5
【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ）
A．1，2，3B．4，7，5C．5，13，12D．2，3，5
【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12D．8、15、17
【典例2】（2023八上·达川期末）在 △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c， 下列所给数据中， 能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=32，b=42，c=52B．a2−b2=c2
C．∠A=2∠B=3∠CD．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2
【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2B．a=6，b=8，c=10
C．∠A=∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C=5：12：13
【典例3】（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由.
【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）△ABC面积是 ，AC边上的高是 ．
【题型2 勾股数的应用】
【典例4】（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13 D．6，8，10
【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12B．11，60，61
C．6，8，10D．0.3，0.4，0.5
【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10 D．7，13，18
【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有( )
3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤7、10、17 ；
⑥ 11 、60 、61
A．6组B．5组C．4组D．3组
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
【典例5】（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.
（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积.
【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 AB=AD=26m ， BC=16m ， CD=12m ，且 BD=20m ．
（1）试说明 ∠BCD=90° ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
1．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
2．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
3．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④B．①②④C．①②D．①④
4．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
1．（2022春•仓山区校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23
2．（2022春•昌图县期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．（2022秋•峄城区校级月考）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：6
4．（2022春•永定区校级月考）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
5．（2022春•绥棱县期末）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
6．（2022春•梁河县校级月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022春•郾城区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
8．（2022春•五华县期中）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
9．（2022春•黄州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为 ．
10.（2022秋•铁岭月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝ 时，△ABP为直角三角形．
11．（2022春•天门校级月考）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
12．（2022春•南宁期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
13．（2022春•周至县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
14．（2022春•襄州区期中）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
15．（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
16．（2022秋•雁塔区校级期中）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
17．（2022秋•江阴市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
18．（2022春•孟村县期中）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
1. 经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.
2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.
3. 初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.
4. 通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.
知识点1：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型1直角三角形的判断】
【典例1】（列各组数据2023八下·怀集期中）下为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．2、3、7B．5、4、8C．3、5、4 D．2、3、5
【变式1-1】（2023八下·定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15B．6， 8， 10
C．5，2，3D．1.5，2.5， 3.5
【变式1-2】（2023八下·会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ）
A．1，2，3B．4，7，5C．5，13，12D．2，3，5
【变式1-3】（2023八上·开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12D．8、15、17
【典例2】（2023八上·达川期末）在 △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c， 下列所给数据中， 能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=32，b=42，c=52B．a2−b2=c2
C．∠A=2∠B=3∠CD．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2
【变式2-1】（2023八上·内江期末）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2B．a=6，b=8，c=10
C．∠A=∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C=5：12：13
【典例3】（2023八下·咸宁期中）如图，每个小正方形的边长为1
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）∠BCD是直角吗？说明理由.
【变式3-1】2023八上·鄞州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是A(−2，0)，B(1，4)，C(5，1).
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
【变式3-2】（2022八上·历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1，△ABC的顶点在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）△ABC面积是 ，AC边上的高是 ．
【题型2 勾股数的应用】
【典例4】（2021八上·灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数，则不是直角三角形勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13 D．6，8，10
【变式4-1】（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12B．11，60，61
C．6，8，10D．0.3，0.4，0.5
【变式4-2】（2021八上·惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10 D．7，13，18
【变式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股数的有( )
3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；④ 13、14、15；⑤7、10、17 ；
⑥ 11 、60 、61
A．6组B．5组C．4组D．3组
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
【典例5】（2022八上·北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.
（1）△ABC是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【变式5-1】（2022八上·大丰期中）如图所示四边形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积.
【变式5-2】（2021八上·嵩县期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得 AB=AD=26m ， BC=16m ， CD=12m ，且 BD=20m ．
（1）试说明 ∠BCD=90° ；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
1．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
2．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
3．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A．②④B．①②④C．①②D．①④
4．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
1．（2022春•仓山区校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23
2．（2022春•昌图县期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．（2022秋•峄城区校级月考）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：6
4．（2022春•永定区校级月考）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
5．（2022春•绥棱县期末）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
6．（2022春•梁河县校级月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022春•郾城区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
8．（2022春•五华县期中）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
9．（2022春•黄州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为 ．
10.（2022秋•铁岭月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝ 时，△ABP为直角三角形．
11．（2022春•天门校级月考）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
12．（2022春•南宁期末）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
13．（2022春•周至县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
14．（2022春•襄州区期中）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
15．（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．
16．（2022秋•雁塔区校级期中）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
17．（2022秋•江阴市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
18．（2022春•孟村县期中）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
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