初中数学苏科版(2024)八年级上册第三章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理完美版课件ppt
展开勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 a2+b2=c2
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来,如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形吗?
如图 3-7(1),在△ABC中,a2+b2=c2,△ABC 是否为直角三角形?
可以用如下方法证明△ABC 是直角三角形:
画Rt△A′B′C′,使∠C =90,BC′=a,AC′=b (如图3-7(2)).
根据勾股定理,可得AB2 =a2+b2因为 AB2=a2+b2,所以 A′B′2 =AB2,A′B′= AB.根据“SSS”,可证△ABC≌△A′B′C′.于是,∠C=∠C′=90°, △ABC 是直角三角形.
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
满足关系 a2+b2=c2 的3个正整数 a、b、c 称为勾股数.
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形: (1) 在△ABC 中,∠A=25°,∠C=65°; (2) 在△ABC 中,AC=12,AB=20,BC=16; (3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c = 3∶4∶5 .
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法:1. 如果已知条件与角度有关,那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角;2. 如果已知条件与边有关,一般利用勾股定理的逆定理,通过计算得出三边的数量关系,判断三角形的形状.
(1) 在△ABC 中,∠A=25°,∠C=65°;
解:在△ABC 中, ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠A=25°,∠C=65°, ∴∠B=180°-25°-65°=90°, ∴ △ABC 是直角三角形.
(2) 在△ABC 中,AC=12,AB=20,BC=16;
解:在△ABC 中, ∵ AC2+BC2=122+162 =202=AB2, ∴ △ ABC 是直角三角形.
(3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c = 3∶4∶5 .
解:设a=3x,则b=4x,c=5x. ∵ (3x)2+ (4x)2= (5x)2, 即 a2+b2=c2, ∴ △ABC 是直角三角形.
利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1)“找”:找出三角形三边中的最长边; (2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方; (3) “判”:若两者相等,则这个三角形是直角三角 形,否则不是.
已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,且满足:a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC 的形状.
解:∵ a2c2-b2c2=a4-b4, ∴ c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.
易错提醒: 两个因式的积为0,则有一个因式为0 和两个因式都为0两种情况;判断三角形形状时,不仅要考虑是否为直角三角形,还要考虑是否为等腰三角形. 本题易丢掉情况(2),在化简过程中没有考虑到a2-b2=0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0 的数,从而导致了错误.
(1) 当a2-b2 ≠ 0 时,则有c2=a2+b2. ∴△ABC 是直角三角形.(2)当a2-b2=0,即a=b 时,若a2+b2-c2≠0,则△ABC 是等腰三角形;若a2+b2-c2=0,则△ABC是等腰直 角三角形. 综上所述,△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿 322”(plimptn322)的古巴比伦泥板.
泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢?
经过专家的潜心研究,发现这块泥板文书实际是一张表格,表格里是些整数,计算考证表明,表格中的两列数字恰好分别是直角三角形的斜边和一条直角边的长,运用勾股定理算得另一条直角边的长(图中左边的一列),竟然也是整数!图中的数组都是勾股数.
现在,人们通过研究发现:勾股数有无数多组.
勾股数必须同时满足两个条件:
(1) 三个数都是正整数;(2) 两个较小数的平方和等于最大数的平方.
判断一组数是否为勾股数的一般步骤
(1)“看”:看是不是三个正整数;(2)“找”:找最大数;(3)“算”:计算最大数的平方与两个较小数的平方和;(4) “判”: 若两者相等, 则这三个数是一组勾股数; 否则,不是一组勾股数.
1. 勾股数有无数组; 2. 如果 a,b,c 是一组勾股数, 那么 na,nb,nc (n 为正整数)也是一组勾股数.
下列四组数据,不是勾股数的是( ) A. 3,4,5 B. 5,6,7 C. 6,8,10 D. 9,40,41
1. 如图,把 12 段同样长的绳子连成环状,拉直点 B 到 点C 之间的 5 段绳子,然后在点 A 处将绳子拉紧, 则∠BAC 为直角. 你能说明其中的道理吗?
解:∵AC2+AB2=32+42 =52=BC2. ∴△ABC 为直角三角形,且∠BAC=90°.
2. 如果3条线段的长分别为a、b、c,且满足c2=a2-b2, 那么由这 3 条线段组成的三角形是直角三角形吗? 为什么?
解:是直角三角形. 由c2=a2-b2,移项,得 b2+c2=a2, 所以这3条线段组成的三角形是以 a为斜边的直角三角形.
3. 下列各组数是勾股数吗? 为什么?(1) 12,15,18;(2) 11,60,61;
解:不是勾股数. 因为 122+152≠182,所以12,15,18不是勾股数.
解:是勾股数. 因为 112+602=612,所以11,60,61是勾股数.
(3) 15,36,39;(4) 12,35,36.
解:是勾股数. 因为 152+362=392,所以15,36,39是勾股数.
解:不是勾股数. 因为 122+352≠362,所以12,35,36不是勾股数.
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