高中人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念精练

这是一份高中人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念精练，共5页。

[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
D [根据向量的有关概念易判断，D项错误．]
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|；,a∥b，))则a＝b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．]
3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
A [平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]
4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与eq \(AB,\s\up14(→))平行且模为eq \r(,2)的向量共有( )
A．12个 B．18个
C．24个 D．36个
C [每个正方形的边长为1，则对角线长为eq \r(,2)，每个小正方形中存在两个与eq \(AB,\s\up14(→))平行且模为eq \r(,2)的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]
5.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量eq \(PQ,\s\up14(→))相等的向量是( )
A.eq \(PR,\s\up14(→))与eq \(QR,\s\up14(→))
B.eq \(AR,\s\up14(→))与eq \(RC,\s\up14(→))
C.eq \(RA,\s\up14(→))与eq \(CR,\s\up14(→))
D.eq \(PA,\s\up14(→))与eq \(QR,\s\up14(→))
B [向量相等要求模相等，方向相同，因此eq \(AR,\s\up14(→))与eq \(RC,\s\up14(→))都是和eq \(PQ,\s\up14(→))相等的向量．]
二、填空题
6．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，则与eq \(BC,\s\up14(→))相等的向量有________．
eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(DE,\s\up14(→)) [由平行四边形的性质和相等向量的定义得eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(DE,\s\up14(→)).]
7．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是________(填序号)．
③ [①错误．|a|＝eq \f(1,2)时，|a|＜|b|；②错误．a与b的方向关系无法确定；③正确；④错误．|b|＝1.]
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
①③④ [相等向量一定是共线向量；两个向量的模相等，方向不一定相同或相反，故应填①③④.]
三、解答题
9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(BO,\s\up14(→))相等的向量；
(2)找出与eq \(AO,\s\up14(→))共线的向量；
(3)找出与eq \(AO,\s\up14(→))模相等的向量；
(4)向量eq \(AO,\s\up14(→))与eq \(CO,\s\up14(→))是否相等？
[解] (1)eq \(AO,\s\up14(→))＝eq \(BF,\s\up14(→))，eq \(BO,\s\up14(→))＝eq \(AE,\s\up14(→)).
(2)与eq \(AO,\s\up14(→))共线的向量有：eq \(BF,\s\up14(→))，eq \(CO,\s\up14(→))，eq \(DE,\s\up14(→)).
(3)与eq \(AO,\s\up14(→))模相等的向量有：eq \(CO,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(BO,\s\up14(→))，eq \(BF,\s\up14(→))，eq \(CF,\s\up14(→))，eq \(AE,\s\up14(→))，eq \(DE,\s\up14(→)).
(4)向量eq \(AO,\s\up14(→))与eq \(CO,\s\up14(→))不相等，因为它们的方向不相同．
10．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000eq \r(2) km到达D地．画图表示向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，并指出向量eq \(AD,\s\up14(→))的模和方向．
[解] 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000eq \r(2) km，
所以△ADC为等腰直角三角形，
所以AD＝1 000eq \r(2) km，∠CAD＝45°.
故向量eq \(AD,\s\up14(→))的模为1 000eq \r(2) km，方向为东南方向．
[等级过关练]
1.四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( )
A．|eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(EF,\s\up14(→))|
B.eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(FH,\s\up14(→))共线
C.eq \(BD,\s\up14(→))与eq \(EH,\s\up14(→))共线
D.eq \(DC,\s\up14(→))与eq \(EC,\s\up14(→))共线
C [∵三个四边形都是菱形，∴|eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(EF,\s\up14(→))|，AB∥CD∥FH，故eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(FH,\s\up14(→))共线．又三点D，C，E共线，∴eq \(DC,\s\up14(→))与eq \(EC,\s\up14(→))共线，故A，B，D都正确．故选C.]
2.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{eq \(PQ,\s\up14(→))|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
12 [根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]