高中数学第9章 平面向量9.1 向量概念精品当堂检测题

这是一份高中数学第9章 平面向量9.1 向量概念精品当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列各量中是向量的是( )


A．密度 B．电流 C．浮力 D．面积


C [只有浮力既有大小又有方向．]


2．若向量a与向量b不相等，则下列关于a与b的说法一定正确的是( )


A．不共线 B．长度不相等


C．不都是单位向量 D．不都是零向量


D [若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．]


3．若eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \(CD,\s\up8(→))且|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(AD,\s\up8(→))|，则四边形ABCD的形状为( )


A．正方形B．菱形


C．矩形D．平行四边形


B [由eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \(CD,\s\up8(→))知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(AD,\s\up8(→))|，所以四边形ABCD为菱形．]


4．下列命题中，正确的是( )


A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量


B．a，b是两个单位向量，则a与b相等


C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同


D．共线的单位向量必是相等向量


A [若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．]


5．给出以下条件，不能使a与b共线的是( )


A．a＝b


B．|a|＝|b|


C．a与b的方向相反


D．|a|＝0或|b|＝0


B [根据相等向量一定是共线向量知A成立；


|a|＝|b|但方向可以任意，∴B不成立；


a与b反向必平行或重合，∴C成立；


由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，∴D成立．]


二、填空题


6．已知a，b是不共线的向量，eq \(AB,\s\up8(→))＝λa＋b，eq \(AC,\s\up8(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λμ＝________.


1 [∵eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使eq \(AB,\s\up8(→))＝teq \(AC,\s\up8(→))，即λa＋b＝ta＋μtb，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t，,μt＝1，))消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,μ)a＋b，此时存在实数eq \f(1,μ)使eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AC,\s\up8(→))，故eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))共线．


∵eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．]


7．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．





eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(BD,\s\up8(→))，eq \(DB,\s\up8(→))，eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(DA,\s\up8(→)) [满足条件的向量有以下几类：


模长为2的向量有：eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(BD,\s\up8(→))，eq \(DB,\s\up8(→))；


模长为3的向量有：eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(DA,\s\up8(→)).]


8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，f 分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量eq \(EF,\s\up8(→))方向相反的向量为________．





eq \(FE,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))，eq \(BA,\s\up8(→)) [∵AB∥Ef ，CD∥Ef ，


∴与eq \(EF,\s\up8(→))方向相反的向量为eq \(FE,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))，eq \(BA,\s\up8(→)).]


三、解答题


9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．





(1)在如图所示的坐标系中画出eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(DC,\s\up8(→))，eq \(CB,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))；


(2)求B地相对于A地的方位．


[解] (1)向量eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(DC,\s\up8(→))，eq \(CB,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))如图所示．





(2)由题意知eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，


∴ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，∴eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°距A地6千米”．


10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCf B都是正方形．





(1)写出与eq \(AO,\s\up8(→))相等的向量；


(2)写出与eq \(AO,\s\up8(→))共线的向量；


(3)向量eq \(AO,\s\up8(→))与eq \(CO,\s\up8(→))是否相等？


[解] (1)与eq \(AO,\s\up8(→))相等的向量有：eq \(OC,\s\up8(→))，eq \(BF,\s\up8(→))，eq \(ED,\s\up8(→)).


(2)与eq \(AO,\s\up8(→))共线的向量有：eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OC,\s\up8(→))，eq \(CO,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(ED,\s\up8(→))，eq \(DE,\s\up8(→))，eq \(BF,\s\up8(→))，eq \(FB,\s\up8(→)).


(3)向量eq \(AO,\s\up8(→))与eq \(CO,\s\up8(→))不相等，因为eq \(AO,\s\up8(→))与eq \(CO,\s\up8(→))的方向相反，所以它们不相等．





1．(多选题)下列说法错误的是( )


A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行


B．终点相同的两个向量不共线


C．若|a|＞|b|，则a＞b


D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反


ABCD [A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．D中，因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定. D不正确．故选ABCD.]


2．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )


A．4π B．3π C．2π D．π


B [图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.]


3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq \(BD,\s\up8(→))|＝________ .


2eq \r(3) [结合菱形的性质可知|eq \(BD,\s\up8(→))|＝eq \r(3)×2＝2eq \r(3).]


4．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若eq \(AC,\s\up8(→))的模为2，eq \(BC,\s\up8(→))的模为3，eq \(AD,\s\up8(→))的模为1，则eq \(DB,\s\up8(→))的模为________．





eq \f(3,2) [如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.





所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，


所以|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(AE,\s\up8(→))|.


因为AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，


所以eq \f(|\(AD,\s\up8(→))|,|\(DB,\s\up8(→))|)＝eq \f(|\(AE,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)＝eq \f(|\(AC,\s\up8(→))|,|\(BC,\s\up8(→))|)，


故|eq \(DB,\s\up8(→))|＝eq \f(3,2).]


5．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1 m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去．


(1)按适当的比例作图说明当α＝45°时，至少需操作几次时赛车的位移为0；


(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．


[解] (1)如图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝eq \f(360°,8)＝45°.





(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180°－α)的正多边形，故n(180°－α)＝(n－2)180°，得α＝eq \f(360°,n)，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36°时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30°时需操作12次可回到出发点．


6．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))且eq \(CN,\s\up8(→))＝eq \(MA,\s\up8(→))，求证：eq \(DN,\s\up8(→))＝eq \(MB,\s\up8(→)).





[证明] 因为eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，


所以|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(DC,\s\up8(→))|且AB∥DC.


所以四边形ABCD是平行四边形，


所以|eq \(DA,\s\up8(→))|＝|eq \(CB,\s\up8(→))|且DA∥CB，


又因为eq \(DA,\s\up8(→))与eq \(CB,\s\up8(→))的方向相同，


所以eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(DA,\s\up8(→)).


同理可证，四边形CNAM是平行四边形，


所以eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \(NA,\s\up8(→)).


因为|eq \(CB,\s\up8(→))|＝|eq \(DA,\s\up8(→))|，|eq \(CM,\s\up8(→))|＝|eq \(NA,\s\up8(→))|，


所以|eq \(MB,\s\up8(→))|＝|eq \(DN,\s\up8(→))|.


又eq \(DN,\s\up8(→))与eq \(MB,\s\up8(→))的方向相同，


所以eq \(DN,\s\up8(→))＝eq \(MB,\s\up8(→)).