高中数学北师大版必修51.1数列的概念达标测试

这是一份高中数学北师大版必修51.1数列的概念达标测试，共5页。

[基础达标练]
一、选择题
1．下列说法：
①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；
②数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列；
③所有的数列都有通项公式，且只有一个；
④数列1,2,3，…，n是无穷数列．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3D．4
A [①正确；②不正确，数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列1,2,3，…，n是有穷数列，共n项，故选A.]
2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3,4项分别是( )
A．11,3B．11,15
C．11,18D．13,18
C [a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝25－2n，下列数中不是数列{an}的项的是( )
A．1B．－1
C．2D．3
C [由an＝25－2n，知a11＝3，a12＝1，a13＝－1，所以2不是数列{an}中的项．]
4．已知数列的通项公式是an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,n2－2，n≥2，))则该数列的前两项分别是
( )
A．2,4B．2,2
C．2,0D．1,2
B [当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.]
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1B．an＝eq \f(nn－1,2)
C．an＝eq \f(nn＋1,2)D．an＝eq \f(nn＋2,2)
C [法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1,3,6,10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝eq \f(1×2,2)，a2＝eq \f(2×3,2)，a3＝eq \f(3×4,2)，a4＝eq \f(4×5,2)，所以猜想an＝eq \f(nn＋1,2)，故选C.]
二、填空题
6．数列eq \f(1,2)，eq \f(1,5)，eq \f(1,10)，eq \f(1,17)，…的一个通项公式为________．
an＝eq \f(1,n2＋1)(n∈N＋) [因为2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，故an＝eq \f(1,n2＋1)(n∈N＋)．]
7．已知数列{an}的通项公式为an＝kn2－1，且a2＝3，则a8＝________.
63 [a2＝4k－1＝3，故k＝1，an＝n2－1，所以a8＝82－1＝63.]
8．数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则eq \r(10)－3是此数列的第________项．
9 [令an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(10)－3，解得n＝9.]
三、解答题
9．已知数列{n(n＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
[解] (1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，①
a17＝17a＋b＝66.②
②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2(n∈N＋)．
(2)令4n－2＝88⇒4n＝90，n＝eq \f(45,2)∉N＋.
∴88不是数列{an}中的项．
[能力提升练]
1．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19)
C.eq \f(20,21)D.eq \f(22,23)
C [由数列的前四项，观察可知其通项公式为an＝eq \f(2n,2n＋1)，则a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).]
2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中第25项为( )
A．6B．7
C．8D．9
B [数字共有n个，当数字n＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，故第22项起数字为7至28项为止，故第25项为7.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝sin nθ，0<θeq \f(1,2) [a3＝sin 3θ＝eq \f(1,2)，又0<θ4．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________(n∈N＋)．
图1 图2
eq \r(n) [因为OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，
即a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n).]
5．已知无穷数列eq \f(4,5)，eq \f(9,10)，eq \f(16,17)，eq \f(25,26)，…
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,10)，\f(36,37)))内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
[解] (1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以数列的一个通项公式为an＝eq \f(n＋12,n＋12＋1)(n＝1,2，…)．
(2)当eq \f(9,10)≤an≤eq \f(36,37)时，可得eq \f(9,10)≤eq \f(n＋12,n＋12＋1)≤eq \f(36,37).
由eq \f(n＋12,n＋12＋1)≥eq \f(9,10)，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2.
由eq \f(n＋12,n＋12＋1)≤eq \f(36,37)，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5.
所以2≤n≤5.
综上所述，该数列在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,10)，\f(36,37)))内有项，并且有4项.