高考数学一轮复习课时分层作业29平面向量的概念及线性运算含答案

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1．D [AB+BC-AD＝AC-AD＝DC，故选D.]
2．A [法一：利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.
法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.]
3．A [由题意得BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A.]
4．A [法一：如图所示，EB＝ED+DB＝12AD+12CB＝12×12(AB+AC)＋12(AB-AC)＝34AB-14AC，故选A.
法二：EB＝AB-AE＝AB-12AD＝AB-12×12(AB+AC)＝34AB-14AC，故选A.]
5．CD [向量不能比较大小，故A选项错误．
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误．
|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同，C选项正确．
根据向量共线的知识可知D选项正确．故选CD.]
6．C [由题意，设AN＝tAM0≤t≤1，
当t＝0时，AN＝0，所以λAB＋μAC＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；
当0所以tAM＝λAB＋μAC，即AM＝λtAB+μtAC，
因为M、B、C三点共线，所以λt+μt＝1，即λ＋μ＝t∈0，1.
综上，λ＋μ的取值范围是[0，1].故选C.]
7．B [记点O到AB、BC、CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝12a·h2，S△OAC＝12b·h3，S△OAB＝12c·h1，因为S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC＝0，即a·h2·OA＋b·h3·OB＋c·h1·OC＝0，又因为a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，所以h1＝h2＝h3，所以点O是△ABC的内心．故选B.]
8．ABC [对于A，△ABC三条中线的交点就是重心，故A正确；对于B，根据向量加法的平行四边形法则可知GB+GC＝2GD，因为点G是△ABC的重心，所以GA＝－2GD，所以GA+GB+GC＝0，故B正确；对于C，因为点G是△ABC的重心，所以AG＝2GD，所以AG＝2GD，故C正确，D错误．故选ABC.]
9．－14 [由向量共线定理知有且只有一个实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1－4e2)，
所以k=λ， 1=-4λ，解得k＝－14.]
10．12 [连接AE(图略)，因为F为DE的中点，
所以AF＝12(AD+AE)，
而AE＝AB+BE＝AB+12BC＝AB+12AD，
所以AF＝12(AD+AE)＝12AD+AB+12AD
＝12AB+34AD，又AF＝xAB+34AD，所以x＝12.]
11．2 [连接AO(图略)，则AO＝12(AB+AC)＝m2AM+n2AN，因为M，O，N三点共线，所以m2+n2＝1，所以m＋n＝2.]
12．1∶4 107 [由AM＝34AB+14AC，
可知点M，B，C三点共线，
令BM＝λBC(λ∈R)，则AM＝AB+BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC-AB)＝(1－λ)AB＋λAC，
所以λ＝14，即点M在边BC上，如图所示，
所以S△ABMS△ABC＝BMBC＝14.
由BO＝xBM＋yBN，得BO＝xBM+y2BA，
BO＝x4BC＋yBN，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得
x+y2=1，x4+y=1，解得x=47 y=67，所以x＋y＝107.]
13．A [(等和线定理)作BC的平行线与圆相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设AP＝λAE＋μAF，则λ＋μ＝1，
∵BC∥EF，∴设AEAB＝AFAC＝k，
则k∈0，43.
∴AE＝kAB，AF＝kAC，AP＝λAE＋μAF＝λkAB＋μkAC，
∴x＝λk，y＝μk.
∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤83.
故选A.]
14．ACD [若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB-AC，即有AM-AB＝AB-AC，即BM＝CB，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM-CM，即AM+BM+CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，
设AN＝2AM，所以AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可知B，N，C三点共线，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D正确．故选ACD.]
15．[解] (1)证明：因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b.
(2)因为AD＝2DC，所以BD＝13(BA＋2BC)，
所以BD2＝19(BA2＋4BC2＋4BA·BC)，
即b2＝19(c2＋4a2＋4ca cs ∠ABC)，
9b2＝c2＋4a2＋4ca·c2+a2-b22ca＝3c2＋6a2－2b2，
所以3c2＋6a2－11b2＝0，又b2＝ac，则3c2－11ac＋6a2＝0，
(c－3a)(3c－2a)＝0，所以c＝3a，c＝23a，
又b2＝ac，当c＝3a时，b＝3a，
则a＋b＝(3＋1)a＜3a＝c，三角形不存在．
当c＝23a时，b＝63a，则c＜b＜a，
则b＋c＝6+23a＞a，三角形存在．
不妨设a＝3，得b＝6，c＝2，
则cs ∠ABC＝c2+a2-b22ca＝4+9-62×2×3＝712.