数学必修21.1 空间几何体的结构教学设计

第6讲  柱体锥体台体的体积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.

¤知识要点：1. 体积公式：

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：

.

¤例题精讲：

【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是    .

解：设长方体的长宽高分别为，则，

三式相乘得.

所以，长方体的体积为6.

【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为.

在中，, 

所以, 于是.

依题意函数的定义域为.

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为　 　　.

解：容器中水的体积为.

流出水的体积为，如图，.

设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.

所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.

点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.

【例4】在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.

     解：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x，圆半径为r，则

        ， ∴ x=4r ， .

又 AB=，  ∴，解得.

圆锥的高，

∴.

点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.