高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积教案及反思

备课资料

数学建模法

    数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法.我国从1992年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性.数学建模的过程大概可表示如下：实际问题;抽象、简化、假设，确定变量和参数;建立数学模型并求解，确定参数;用实测数据等来检验该数学模型;回到实际问题.

    下面介绍数学模型法解决问题的一个例子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题.

    首先，把饮料罐假设为正圆柱体（实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的）.在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：

    V——罐装饮料的体积，r——半径，h——圆柱高，b——制罐铝材的厚度，k——制造中工艺上必须要求的折边长度.

    上面的诸多因素中，我们先不考虑k这个因素.于是V=πr2h，由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍.因而制罐用材的总面积为A=3πr2b+πr2b+2πrhb=(4πr2+2πrh)b.

    每罐饮料的体积是一样的，因而V可以看成是一个常数（参数），解出h=代入A，得A=A(r)=2πb（2r2+），从而知道，用材最省的问题是求半径r使A(r)达到最小.A(r)的表达式就是一个数学模型.可以用多种精确或近似方法求A(r)的极小值及相应的r.易求得：h==4r,即罐高h应为半径r的4倍.

    当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高h和半径r的比几乎与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最省的问题.大家还可以把折边k这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何.

    这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题.例如，当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件最大体积（三边之和）不得超过62英寸（158 cm），但两件之和不得超过107英寸（273 cm），每件重量不得超过32公斤”的说明.试计算一下三边之和为158 cm的长方体（我们通常用的箱子、装货的纸箱都是这种形状的）要使之体积最大的长、宽、高应是多少？（试证明为正方体！）再到市场上去调查一下有多少箱子是这样的,为什么？在马路上见到的油罐车上的油罐为什么不是正圆柱形而是椭圆圆柱形？体积一定、用材最少的油罐的尺寸应是什么形状？这些问题都会激起我们的思考和应用数学的兴趣.

（设计者：张新军）