人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构教案及反思

这是一份人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构教案及反思，共10页。教案主要包含了空间几何体，几种常见的多面体等内容，欢迎下载使用。


1．1 空间几何体的结构
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
观察下列空间几何体：有什么共同特征？
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
一、空间几何体
1．概念：如果只考虑物体的__形状__和__大小__，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__空间图形__叫做空间几何体．
2．多面体与旋转体
(1)多面体：由若干个__平面多边形__围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的__面__；相邻两个面的__公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的__公共点__叫做多面体的顶点．
(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定__直线__旋转所形成的__封闭几何体__叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
[归纳总结] 对多面体概念的理解，注意以下几个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成．
(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体．
(3)围成一个多面体至少要有四个面．
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱．
(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体．
二、几种常见的多面体
1．棱柱
[归纳总结] 棱柱的简单性质：
(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示．
棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．
2．棱锥
[归纳总结] 棱锥的性质：
(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形．
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示．
3．棱台
[归纳总结] 棱台的性质：
(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示．
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．下列物体不能抽象成旋转体的是 ( D )
A．篮球 B．日光灯管
C．电线杆 D．国家游泳馆水立方
[解析] 水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．
2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是 ( B )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
[解析] 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选项B不正确．
3．棱锥的侧面和底面可以都是 ( A )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
[解析] 三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A．
4．四棱柱有__4__条侧棱，__8__个顶点.
[解析] 四棱柱有4条侧棱，8个顶点．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨棱柱的结构特征
典例1 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__(3)(4)__．
[思路分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质．
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱
所以说法正确的序号是(3)(4)．
『规律方法』 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
〔跟踪练习1〕
下列说法正确的是( B )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
命题方向2 ⇨棱锥、棱台的结构特征
典例2 下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(2)棱锥的侧面只能是三角形；
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是__(1)(2)(3)__．
[思路分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．
[解析] (1)正确，棱台的侧面都是梯形．
(2)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
(4)错误，如(右)图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
『规律方法』 关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
〔跟踪练习2〕
判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[解析] 图①，②，③都不是棱台．因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不透
典例3 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？
[错解] 一定是棱柱．
[错因分析] 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体可能不是棱柱．
[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱．
〔跟踪练习3〕
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，对吗？
[错解] 对
[辨析] 判断几何体的形状，一定要紧扣几何体的定义，在棱锥的定义中，“有一个公共顶点”的条件不可缺少．
[答案] 错误．棱锥的正确定义是“有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥．”
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 空间想象能力与几何体的侧面展开
空间想象能力，立体几何学习的一个核心任务就是培养空间想象能力，学习过程中可通过以下方式提升空间想象能力．
(1)借助周围空间中的几何体和动手制作直观教具，作为直观支柱帮助建立空间观念；(2)加强作图和识图能力培养；(3)加强几何语言与图形、文字语言的转换训练；(4)注意平面几何知识与立体几何知识的沟通与区分；(5)注重训练推理语言的规范性；(6)借助可能的多媒体展示，培养直观想象能力．
典例4 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)都是多面体；(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台．
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．如图所示．
『规律方法』 立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的有效途径，解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征，进行空间想象，或亲自动手制作平面展开图进行实践．
〔跟踪练习4〕
纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如下图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2.则标“△”的面的方位是( B )
A．南 B．北
C．西 D．下
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．棱柱的侧棱 ( C )
A．相交于一点B．平行但不相等
C．平行且相等D．可能平行也可能相交于一点
[解析] 棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C．
2．有两个面平行的多面体不可能是 ( B )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．长方体
[解析] 棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．
3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为 ( A )
[解析] 两个eq \x(☆)不能并列相邻，B，D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判断．
4．一个棱台至少有__5__个面，面数最少的棱台有__6__个顶点，有__9__条棱.
[解析] 面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得 截面的形状不可能是 ( D )
A．等腰三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．正六边形
这是世界著名的七星级酒店——迪拜的帆船酒店，近距离观察能发现很多几何元素，如圆柱、棱柱、球等，世界上许许多多的建筑设计大师设计出了很多闻名于世的建筑，这些建筑风格各异，它们都离不开这样的一些基本的几何元素．
事实上，纷繁复杂的物质世界都是由那些既有大小又有一定几何形状的物质构成的，把这些物体的其他特征忽略，只看它们的形状和大小，这就是本章要研究的内容．
定义
一般地，有两个面互相__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每__相邻__两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的__多面体__叫做棱柱
有关
概念
棱柱中，两个互相__平行__的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
定义
一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是__有一个公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
有关
概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的__公共顶点__叫做棱锥的顶点；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱
图形
表示法
用表示顶点和底面各顶点的__字母__表示，如上图中的棱锥可记为棱锥__S－ABCD__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫__四面体__
定义
用一个__平行于__棱锥底面的平面去截棱锥，__底面与截面__之间的部分叫做棱台
有关
概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其它各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧面__的公共顶点叫做棱台的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台__ABCD－A′B′C′D′__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱台、四棱台、五棱台……
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点