2021学年1.1 空间几何体的结构综合训练题

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课后提升作业 六

球的体积和表面积

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.(2016·杭州高二检测)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的　(　　)

A.2倍　　　  B.2倍　　　  C.倍　　　  D.倍

【解析】选B.设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.

2.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为　(　　)

A.π    B.     C.π     D.4π

【解析】选B.根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=1，所以V=πr3=π.

3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为　(　　)

A.4∶3   B.3∶1    C.3∶2    D.9∶4

【解析】选C.作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r=R，

则l==2R，

所以===.

【延伸探究】本题条件不变，求圆锥的体积与表面积之比.

【解析】设球的半径为R，则圆锥的高为h=3R，

圆锥底面半径r=R，

所以===.

4.已知某球的大圆周长为c，则这个球的表面积是　(　　)

A.    B.    C.    D.2πc2

【解析】选C.设球的半径为r，则2πr=c，所以r=，所以球的表面积为S=4πr2=4π·=.

5.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π，则r=(　　)

A.1    B.2    C.4    D.8

【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2.

6.把半径分别为6cm，8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为　(　　)

A.3cm    B.6cm    C.8cm    D.12cm

【解析】选D.由πR3=π·63+π·83+π·103，

得R3=1728，检验知R=12.

7.(2016·上饶高二检测)空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为　(　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选A.该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体，作出该几何体与其外接球的轴截面如图所示：

则R2=x2+1=(2-x)2+，

解得：x=，R2=x2+1=，

故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=π.

8.(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于　(　　)

A.1    B.2    C.3    D.4

【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径.

【解析】选B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为r==2，这就是得到的最大球的半径.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2016·广州高一检测)已知高与底面直径之比为2∶1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为________.

【解析】设圆柱的底面半径为r，则高为4r，由题意知πr2·4r=500π，则r=5，设球的半径为R，则R2=r2+4r2=125，所以R=5，故V球=π×(5)3=

答案：

10.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________.

【解析】如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.

易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π=3π.

答案：3π

三、解答题

11.(10分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.

【解析】两半球的表面积为S1=4πr2=4π，

圆柱的侧面积为S2=2πrl=2π×1×3=6π，

故该组合体表面积为4π+6π=10π，

两半球的体积为V1=πr3=π，

圆柱的体积为V2=πr2·l=π×12×3=3π，

故该几何体的体积为V1+V2=π+3π=π.

【补偿训练】1.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，若正方体的棱长为a，求这三个球的表面积.

【解析】(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r1=a，r1=，

所以S1=4π=πa2.

(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，所以有2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2.

(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3=a，r3=a，

所以S3=4π=3πa2.

2.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.

【解析】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，

从而容器内水的体积是V′=π··h=πh3，由V=V′，得h=r，即容器中水的深度为r.

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