高中数学4.4 对数函数教学设计

课程目标

学科素养

1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异.

2、经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；

3、在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。

a.数学抽象：函数增长快慢的认识；

b.逻辑推理：由特殊到一般的推理；

c.数学运算：运用指数和对数运算分析问题；

d.直观想象：指数、对数函数的图像；

e.数学建模：运用函数增长差异解决实际问题；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、温故知新

三种函数模型的性质

（二）问题探究

 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．

提出问题

    虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.

我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数在定义域内增长方式的差异.                  

问题探究

以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.              

分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

 (3) 观察两个函数图象及其增长方式：

结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)

结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上

结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下

结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上

综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.

请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？

思考：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.

归纳总结

总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：

虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于  y=2x的增长速度.

尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.

总结二：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.

即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.

跟踪训练

1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

关于x呈指数函数变化的变量是________.

答案：y2　

[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]

分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，

所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.              

 (3) 观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.

随着x的增大，         的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.

例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；

这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比    相比增长得就很慢了.

思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.

总结二：一般地，虽然对数函数                与一次函数y=kx(k>0)在(0,上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有．

跟踪训练

1．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的

大小进行比较).

[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；

当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．

温故知新，通过对上节指数、对数和幂函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。

通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

通过对对数函数的图像与幂函数图像的观察分析归纳总结出两类函增长性的差异和特点，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；

三、当堂达标

1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)

A．y＝ex　   B．y＝ln x     C．y＝x2     D．y＝e－x

【答案】A　[结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]

2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间是(　　)

A．(0，＋∞)     B．(2，＋∞)

C．(－∞，2)     D．(4，＋∞)

【答案】D　[当x>4时，log2x<x2<2x，故选D.]

3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．

其中说法正确的序号是________.

【答案】②④　[结合图象可知②④正确，故填②④.]

4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.

【答案】乙、甲、丙　[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]

通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、小结

1.由特殊到一般，由具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k>0，指数

函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数                在定义域上的不同增长方式.

2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；