数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念第一课时教案

5.2.1三角函数的概念（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

借助单位圆理解任意角三角函数的定义.

二、教学重难点

1. 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.

2. 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数.

三、教学过程

1.任意角三角函数概念的形成

1.1 创设问题情景，引发认知冲突

【问题情境】通过复习锐角三角函数定义，明确了锐角的三角函数是在直角三角形中定义的。但现在角已经扩充为了任意角，锐角三角函数的定义已无法定义任意角的三角函数.

【设计意图】通过问题情景，引发学生的认知冲突，激起学生探寻任意角三角函数定义的兴趣.

1.2 创设问题串，引导学生类比出三角函数的概念

研究任意角一般是在平面直角坐标系中研究。当锐角α确定，α的终边也就确定了，进而α的终边与单位圆的交点P(x,y)也就确定了.

问题1： 锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？

【预设的答案】可以；sinα=y,cosα=x,tanα=

【设计意图】通过这个问题，让学生建立起锐角三角函数与锐角终边与单位圆交点的坐标的联系，突破学生对锐角三角函数定义的局限，为类比出任意角三角函数定义做铺垫.

问题2： 类比锐角α的三角函数值与P点的坐标的关系，可以定义任意角的三角函数吗？

【预设的答案】可以；任意角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，那么sinα=y,cosα=x,tanα=

【设计意图】

1.3 概念形成

教师总结：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα

（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα

（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即

  =tanα

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

问题：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？

【预设的答案】R；R；

【设计意图】加深学生对任意角三角函数的理解.

练习：求的正弦、余弦和正切值.

【预设的答案】sin ＝－，cos ＝，tan ＝－

【设计意图】巩固任意角三角函数的概念.

1.4 概念深入

任意角α的三角函数可以用α的终边与单位圆相交于点P(x,y)的坐标表示.但角α的终边不仅可以由P点坐标唯一确定，也可以由终边上其他点的坐标唯一确定，所以角α的三角函数也可以用终边上其他点的坐标表示.

问题：设α是一个任意角，α∈R，为它的终边上的任意一点，将α的三角函数用的坐标表示.

【活动预设】（1）学生可能没有头绪，引导学生建立与P(x,y)的联系.

（2）学生可能只将某个确定象限的角α的三角函数用的坐标表示；从角α是任意角这个角度引导学生，应对角α分象限分别表示.

【设计意图】先让学生独立思考后再小组讨论，最后通过教师的引导，让学生自己探寻出结果，这样可以突破将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示这个难点.

教师总结：设α是一个任意角，α∈R，Q(x,y)为它终边上任意一点，那么，其中.

2. 初步应用，理解概念

例1. （1）角α的终边经过点P(－3，－4)求角α的正弦、余弦和正切值．

（2）若点P (3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，求tan α的值.

   【预设的答案】sin α＝－；cos＝－；tan α＝；tan α＝

 【设计意图】熟悉将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示.

    例2. 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tanα的值．

　【预设的答案】(1)若α的终边在第一象限内，

设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，

因为r＝|OP|＝＝a

所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.

(2)若α的终边在第三象限内，

设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，

因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，

所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.

    练习：1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x,8)是角θ终边上一点，求x的值.

2. 点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，求点Q的坐标.

【预设的答案】　1. 由任意角的三角函数的定义可得，

cos θ＝＝＝－，解得x＝－6.

2. 点P运动的弧长所对圆心角的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.

【设计意图】巩固任意角三角函数的定义

3. 回顾小结

直角三角形中定义锐角三角函数

直角坐标系中利用锐角终边与单位圆的交点坐标表示锐角三角函数

直角坐标系中利用任意角终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数

直角坐标系中利用任意角终边上任意一点定义任意角三角函数

【设计意图】梳理任意角三角函数定义的全过程.

四、课后作业