初中5 整式的乘法教学设计

6.5   整式的乘法(三)

●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行简单的多项式与多项式相乘运算(其中多项式相乘仅限于一次式相乘).

2.理解多项式与多项式相乘运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想.

(二)能力训练要求

1.发展有条理的思考及语言表达能力.

2.培养学生转化的数学思想.

(三)情感与价值观要求

在体会乘法分配律和转化思想的过程中，获得成就感，培养学习数学的兴趣和信心.

●教学重点

多项式与多项式相乘的法则及应用.

●教学难点

灵活地进行整式乘法的运算.

●教学方法

活动探究法.

●教具准备

下列形状的纸卡每一种若干张.

图6－3

投影片两张

第一张：例题评析，记作(§6.5.3A)

第二张：练一练，记作(§6.5.3 B)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］利用下面长方形卡片中的任意两个，拼成一个更大的长方形.

图6－3

［生］用上面卡片中的任意两个拼出如下图形：

图6－4

［师］你能用不同的形式表示上面四个图形的面积吗？

［生］图A的面积可以表示为(n+a)m,也可以表示为nm+am;

图B的面积可以表示为n(m+b),也可以表示为nm+nb;

图C的面积可以表示为b(n+a),也可以表示为bn+ab;

图D的面积可以表示为a(m+b),也可以表示为am+ab.

［生］由上面的同一图形不同的面积表示方程可得：

(n+a)m=nm+am;

n(m+b)=nm+nb;

b(n+a)=bn+ab;

a(m+b)=am+ab.

［师］我们观察上面四个式子可以发现，等式的左边是单项式乘以多项式，而它们正是单项式与多项式相乘的一个几何解释.

如果再把A、B、C、D四个图形进一步摆拼，会得到比它们更大的长方形.做一做，试一试，也许你会有更惊人的发现.

Ⅱ.通过拼更大的长方形，对比同一面积的不同表示方式，使学生对多项式与多项式的乘法有一个直观认识，再从代数角度去探索多项式与多项式乘法的运算法则.

［生］利用A和C可以拼出下列长方形：

［生］利用B和D也可以拼出如图1－21所示的长方形.

图6－5

［师］你能用不同的形式表示这个图形的面积吗？并进行比较.

［生］上面的图形可以看成长为(m+b)、宽为(n+a)的长方形，其面积是(m+b)(n+a)；

［生］上面的图形还可以看成图A和图C两个图形组成的，其面积是m(n+a)+b(n+a)；

［生］还可以看成是四个小长方形的组合，其面积是mn+ma+bn+ba.

［师］比较后，你能发现什么？

［生］这三种方法表示同一图形的面积.因此，它们是相等的，即

(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba.

［师］如果从代数运算的角度解释上面的等式成立吗？

［生］成立.在(m+b)(n+a)中，可以把其中的一个多项式看成一个整体，例如把(n+a)看成一个整体，利用乘法分配律，得,这时再利用单项式与多项式相乘的运算法则，就可得.

［师］这位同学从代数运算的角度解释这个等式，解释的很清楚.我们接着来分析上面的等式.(m+b)(n+a)是多项式与多项式相乘，这正是我们要学习的整式乘法中的最后一个问题.而同学们能借用前面知识将问题转化成单项式与多项式的乘法，说明同学们已能恰当地利用转化的思想，解决当前问题.

实际上，多项式与多项式相乘，可以把其中的一个多项式看成一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行运算.

我们前面拼图，然后对同一面积用不同的形式表达所得出的等式可以作为多项式与多项式相乘的几何解释.

结合上面的代数解释和几何解释，你能总结出多项式与多项式相乘的运算法则吗？

［生］多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

［师］下面我们就来看几个多项式与多项式相乘的整式乘法运算.

出示投影片(§6.5.3A)

［例3］计算：

(1)(1－x)(0.6－x);    (2)(2x+y)(x－y);

分析：在做的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.

解：(1)(1－x)(0.6－x)

=(0.6－x)－x(0.6－x)

=0.6－x－0.6x+x2

=0.6－1.6x+x2

或(1－x)(0.6－x)

=1×0.6－1×x－0.6x+x·x

=0.6－x－0.6x+x2

=0.6－1.6x+x2

(2)(2x+y)(x－y)

=2x(x－y)+y(x－y)

=2x2－2xy+xy－y2

=2x2－xy－y2

或(2x+y)(x－y)

=2x·x－2x·y+xy－y2

=2x2－xy－y2

Ⅲ.练一练

出示投影片(§6.5.3B)

1.计算：

(1)(m+2n)(m－2n);

(2)(2n+5)(n－3);

(3)(x+2y)2;

(4)(ax+b)(cx+d).

2.试一试，计算：

(a+b+c)(c+d+e)

解：1.(1)(m+2n)(m－2n)

=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n

=m2－2mn+2mn－4n2

=m2－4n2

(2)(2n+5)(n－3)

=2n·n－3·2n+5n－5×3

=2n2－6n+5n－15

=2n2－n－15

(3)(x+2y)2

=(x+2y)(x+2y)

=x2+2xy+2xy+4y2

=x2+4xy+4y2

(4)(ax+b)(cx+d)

=ax·cx+ax·d+b·cx+bd

=acx2+adx+bcx+bd

2.(a+b+c)(c+d+e)

=a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e)

=ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce

Ⅳ.课时小结

这节课我们通过拼图游戏，可以直观地认识多项式与多项式的乘法，然后又从代数运算的角度将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，从而归纳出多项式与多项式相乘的法则.重点是明白每一步的算理，熟练多项式与多项式乘法的运算法则.

Ⅴ.课后作业

1.课本习题6.10第1、2题.

2.归纳总结整式的乘法运算，并写出体会、经验在全班交流.

Ⅵ.活动与探究

由计算得到27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×(2+1).换两个数84×86=7224同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10的两位数的积是否也有这样的规律？

［过程］根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a,b,c都是正整数，并且b+c=10).根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.

［结果］设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a、b、c都是正整数，并且b+c=10).根据多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为

(10a+b)(10a+c)

=100a2+10a(b+c)+bc

=100a2+100a+bc

=100a(a+1)+bc

这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数(a+1),然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.例如：

计算：(1)32×38  (2)54×56   (3)73×77

解：(1)3×(3+1)=12，2×8=16

∴32×38=1216

(2)5×(5+1)=30，4×6=24

∴54×56=3024

(3)7×(7+1)=56，3×7=21

∴73×77=5621

●板书设计

§6.5  整式的乘法(三)

——多项式与多项式相乘

一、拼图游戏

1.做一做，利用手中准备好的卡片拼出更长的长方形.

2.用不同形式表示图1－22的面积.

图1－22

(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba  (1)

3.用乘法分配律说明(1)式成立.

(把(n+a)当成整体，利用乘法分配律而推出)

=mn+ma+bn+ba

(利用单项式与多项式运算法则)

4.多项式与多项式相乘的运算法则

5.例3(略).

6.练习(略).

●备课资料

一、参考练习

1.选择题

(1)计算m2－(m+1)(m－5)的结果正确的是(    )

A.－4m－5        B.4m+5

C.m2－4m+5       D.m2+4m－5

(2)(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为－2，则a的值为(    )

A.－2         B.1

C.－4         D.以上都不对

(3)下列等式成立的是(    )

A.(a+2b)2=a2+4b2

B.(2x－3y)2=4x2－9y2

C.(m+)2=+m+m2

D.(a－2b)2=a2－2ab+4b2

(4)三个连续奇数，若中间一个为n,则它们的积为(    )

A.6n3－6n        B.4n3－n

C.n3－4n        D.n3－n

(5)下列等式(    )

①x(x－y)－y(3y－2x)=x2－3xy－3y2

②－ab2(b3－ab2+2a3b)=－ab5+a2b4－a4b3

③(a－b)(a+b)=a2－ab+b2

④(2x+y)(4x2+2xy+y2)=8x3+y3

中，正确的是(    )

A.0个    B.1个    C.2个    D.3个

2.计算：

(1)5(x－1)(x+3)－2(x－5)(x－2)

(2)(3x－2y)(2x－3y)

(3)(a－b)(a2+ab+b2)

(4)(3y+2)(y－4)－3(y－2)(y－3)

3.先化简，再求值

(x－y)(x－2y)－ (2x－3y)(x+2y),其中x=2,y=.

4.规律探索题

(1)研究下列等式：

①1×3+1=4=22;

②2×4+1=9=32;

③3×5+1=16=42;

④4×6+1=25=52…

你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明.

(2)计算下列各式，你能发现什么规律吗？

(x－1)(x+1)=       .

(x－1)(x2+x+1)=       .

(x－1)(x3+x2+x+1)=       .

(x－1)(x4+x3+x2+x+1)=       .

…

(x－1)(xn+xn－1+…+x+1)=       .

答案：1.(1)B  (2)C  (3)C  (4)C  (5)B

2.(1)3x2+24x－35

(2)6x2－13xy+6y2

(3)a3－b3  (4)5y－26

3. －2

4.(1)n(n+2)+1=(n+1)2,证明略.

(2)x2－1,x3－1,x4－1,x5－1,…xn+1－1