《定积分的概念》文字素材2（北师大版选修2-2）教案

定积分

一、定积分的概念

1. 定义：设函数在区间上有定义，如果和式极限存在（其中）则称这个极限为函数从a到b的积分，记作。
2. 几何意义：当时，表示由x轴，直线x=b,x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积。
3. 运算法则

(1)

(2)

(3)

(4)

二、可积准则

  1、可积准则：函数在闭区间可积的充要条件是＝0或  其中分别表示关于T的大和与小和，为振幅。

  2.可积的必要条件：若函数在区间可积，则函数在有界。

  3.可积的充分条件

（1）若函数在闭区间连续，则函数在可积；

（2）若函数在闭区间有界，且有有限个间断点，则函数在闭区间可积。

（3）若函数在闭区间单调（可能有无限多个间断点）同函数在闭区间可积。

 （4）设函数在上的有界函数，则以下说法等价：

   ①在上可积。

   ②＝0

③

④，使

4. 积分上限函数及其性质

（1）          定义：设函数在上可积，则函数称为函数在上的积分上限函数（其中），

（2）          性质：

①     如果在上可积，则积分上限函数在上连续。

②     如果在上连续，则积分上限函数可导，且

5. 定积分的计算

（1）          牛顿－莱布尼兹公式

（其中是的一个原函数）

（2）          定积分的换元法（注意换元而且要换限）

（3）          定积分的分部积分法

6. 定积分的中值定理及性质

三、定积分的应用

1、微元法：曲边梯形的面积        

           物体运动的路程         

           变力所做的功           

2.平面区域的面积

  ①直角坐标系                

  ②参数方程                  

  ③极坐标  若C的极坐标方程为  则面积

3.平面曲线的弧长：

①参数方程：，则

   弧长    

②直角坐标系：  

  弧长   

③极坐标  

弧长   

4.应用截面面积求体积

      为截面面积

5.旋转体体积

  将区间上的连续曲线绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积

7. 旋转体的侧面积

①     将区间上非负连续曲线绕x轴旋转得到旋转体的侧面积为＝

②     若曲线由参数方程：给出，则侧面积为

③     若曲线由极坐标方程：给出，则侧面积为：

四．例题

 1.证明：若函数在上可积，且，则存在某个闭区间 ，，有。

·[证] 假设任意闭区间，总存在，使。

给任意分法T，将分成个小区间：，.

取，使，。作积分和

有与已知条件矛盾，则存在某个闭区间，，有，

2.证明：若函数与在上同是单调增加或单调减少，则

证法：应用定积分定义和不等式,其中与或与  

[证] 已知函数与在上可积，从而在上也可积，将等分成个小区间，取，，由函数与在上有相同的单调性，由已知的不等式，有）或由定积分定义，当时，

3.如果函数或在上可积，函数在上是否可积?

[解] 不一定，例如函数

而或在上都可积，但是，函数在上却不可积。

   反之，若函数在上可积，则在上可积。而在上也可积。（见练习题8.2第6题）

4.证明：若函数在连续，非负，且，使则。

[证]已知函数在连续，且根据连续函数的保号性，，有设，且又已知有。于是

5.证明：若函数在单调减少，则

·[证] 已知在单调减少，则在可积。将n等分，分点是：…。有＝＝＝＝＝

6.求下列定积分

（1）   （2）     （3）

 [解] (1)

(2)    

(3)设

8. 求下列平面曲线所围成的区域的面积。

（1）          y=sinx,y=cosx,

（2）             (>0)

（3）                (>0)

[解]（1）

   （2），这是星形线所围成的区域。它关于x轴与y轴都对称。因此它的面积是第一象限那部分区域面积的4倍。

（4）          这是四叶玫瑰线，这四个叶关于x轴与y轴都对称，四叶玫瑰线围成区域的面积是第一象限一叶面积的4倍。

8 积分第二中值定理的三种形式：

（1）若函数在上单调减少，非负，函数在上可积，则存在，使

 （2）若函数在上单调增加，非负，函数在上可积，则存在，使

 （3））若函数在上单调, 函数在上可积，则存在，使

[证]（1）给任意分法T，分点是。

已知函数在上有界，即，有

又因在上可积，即

有

从而

作辅助函数则函数在上连续，设与分别是函数在上的最小值与最大值，注意到,有

==

已知    有

即 

根据连续函数介值性，存在，使即

（2）同法可证（设）

（3）设函数在上单调增加，函数在上单调减少，非负。由（1）的结果，有＝或即

9.证明，若函数在上有连续导数，且则

[证]。由牛顿－莱布尼兹公式，有   

应用柯西－施瓦兹不等式

于是，

          练     习    题

1,证明，若与在上可积，则在上也可积。

2.证明，若函数在上单调减少，对任意，则

3.证明：若函数与在上连续非负，且，则有不等式

   称为赫尔德积分不等式

4.证明：若函数与在上连续非负，且，则有不等式

称为闵可夫斯基积分不等式

5.证明下列极限

 （1）

  （2）

6.应用定积分定义计算下列极限

 （1）

  （2）

7.证明：，其中为连续函数。

8.求下列极限

 （1）

  （2）

9.求曲线与直线围成的平面图形的面积

10.求心脏线： 围成的区域的面积。

11. 求旋轮线：的弧长。

12. 求阿基米德螺线： 弧长。

13.求柱面与围成的体积

14.求曲线绕x轴和y轴旋转所成曲面的面积。

15.有内半径为10m的半球容器，其中盛满水，欲将水抽尽，求所作的功。