高中数学人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念教学设计

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.5定积分的概念教学设计，共4页。

教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，
其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1；
性质2（定积分的线性性质）；
性质3（定积分的线性性质）；
性质4（定积分对积分区间的可加性）
(1) ； (2) ；
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
性质4
性质1
三．典例分析
例1．利用定积分的定义，计算的值。
分析：令；
（１）分割
把区间n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为：；
（２）近似代替、求和
取，则（３）取极限
.
例2．计算定积分
1
2
y
x
O
分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上
出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
例３．计算定积分
分析：利用定积分性质有，
利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值。
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
3．课本练习：计算的值，并从几何上解释这个值表示什么？
五．回顾总结
1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
P50 3、5