《定积分 综合-导数与定积分》学案1（北师大版选修2-2）教案

 导数与定积分的综合应用（选讲）

【基础过关】

1．导数的几何意义及其应用

函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的　　　　　，

导数的四则运算法则对加法而言　　　　　　；对乘法而言　　　　　　　；对除法而

言　　　　　　　　　。

2．导数与定积分的关系

在求定积分时，要求出原函数，求原函数的过程可以看作是求导的　　　　　　　。

【基础训练】

1．已知函数在处的导数等于3，则的解析式可能为（　　）

A．　　　　　　B．　

C．　　　　　　　　　　D．

2．若在区间内有且，则在区间内有（　　）

A．　　B．　　　C．　　D．不能确定

3．设函数有极值，则极值点为           .

4．，则的值为　　　　　　　　.

【典型例题】

例1．过点作曲线（，，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；……；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．

（1）求证：，；

（2）求证：； 

（3）求证：（注：）．

 ［剖析］函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数.

［解］（１）为了求切线的斜率，只要对求导数，得．

若切点是，则切线方程是．
当时，切线过点，即，得；　　　　　　
当时，切线过点，即，得．

所以数列是首项为，公比为的等比数列，，．

（２）应用二项式定理，得

　　　　　　　　　　．　　　

（３）记，则，

两式错位相减，得　

，故 ．　　　　　　　

［警示］求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点。

例2．（2006年辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，

将点A， B， C

   (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

［剖析］对于第（1）小题，利用待定系数法进行求解，但需注意导数的应用；对于第（2）小题，应充分利用“面积为”这一条件。

［解］(I)解: ,

令,得

,

当时, ;

当时,

所以f(x)在x=-1处取得最小值即

(II) 解法一：，的图像的开口向上,对称轴方程为.由知,在上的最大值为,即.又由,当时, 取得最小值为

,

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得.

解法二: ,

又c>0知在上的最大值为,即:

又由

当时, 取得最小值为

,

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得

［警示］本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

［变式训练］

已知函数，设，记曲线在点处的切线为。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则。

例3．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.

（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.

［剖析］利用导数研究的问题中若含有参数，应抓住参数的实际意义进行讨论。

［解］（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,

由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则

f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，

―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间

（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，

由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，

所以只须仅须（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是（0，）。

［警示］本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。此题中的参数有一定的联系，并影响导数值的符号，即影响函数的单调性，故应结合不等式知识研究参数的取值范围。将多个知识点综合进行考查是最近几年高考试题的一大特点，在复习时应注意对这类问题的把握。

例4．设在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）设≥1，≥1，且，求证：

［剖析］题目中的是主元，为辅元，但方程的的次数高于3，求根比较困难，注意到的最高次数为1，故可视为主元，将原方程视为关于的一次方程，分离出参数，再借助于的取值范围进行求解。

［解］（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.

若在上是单调递增函数，则≤，

由于.从而0<a≤3.

（2）方法1：可知在上只能为单调增函数.  若1≤，则 若1≤矛盾，故只有成立.

方法2：设，两式相减得 ≥1,u≥1，

，

［警示］ 解答求取值范围的一类问题时，常将参数用函数式表示出来，将参数范围转化为研究一个函数值域问题。研究较为复杂函数在闭区间的值域时，常常利用导数解决。

［变式训练］

（2006年全国I）已知函数.

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

解：（I） 的定义域为（，1）（1，）

因为（其中）恒成立，所以

⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；

⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；

⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）

（其中）

所以在各区间内的增减性如下表：

（II）显然

⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；

⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；

⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。

综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）

例5．设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP、曲线及直线x=2所围成的面积分别记为、．

(1)当时，求点P的坐标；

　　(2)当有最小值时，求点P的坐标和此时的最小值．

［剖析］(1)问题的关键在于P点的位置，因而设P点的坐标，建立直线OP的方程，求出与，由条件即可解出点P的坐标．对(2)只要建立起的目标函数，利用导数来求最小值即可。

［解］(1)设点P的横坐标为t(O<t<2)，则，直线OP的方程为：y=tx．

　　∴，　。

∵，所以，　得，∴点P的坐标为。

（2）设，，令S′=0  得  ，　∵0<t<2，∴时，S′<0，时，S′>0，所以，当时，，因此，当点P坐标为(，2)时，有最小值

［警示］本题主要小结利用定积分求曲边梯形面积的方法，前后知识融会贯通是解决这类综合题的基础．

例6．已知y=ax3+bx通过点（1,2），与y=－x2+2x有一个交点x1，且a<0。

（1）求y=ax3+bx与y=－x2+2x所围的面积S。

（2）a,b为何值时，S取得最小值。

［剖析］先利用定积分求出，然后借助于导数求解最大值与最小值。

［解］（1）按题意，x=1时y=2，故a+b=2,即b=2－a,

从而y=ax3+bx＝a(x2-x)+2x与y=－x2+2x有交点0及，按条件a<0，x1>0,由此可得1＋a<0,即a<－1。从上所述y=ax3+bx与y=－x2+2x所围的面积S为

（2）求出导数，不难看出在上＜0，在（－3，－1）上＞0

因此在上S（a）在点x=－3处取得最小值，这时b=2－a=5，最小值S（－3）＝。

［警示］定积分是最新的内容，与实际问题紧密结合，是大学内容的下放，所以肯定是高考中的重点，而且有可能与其它知识点结合出综合题，因此在复习时应注意。

【课后作业】.

1．若函数，则

2．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是　　　　　　.

3．设，则　　　　　　　.

4．已知函数的极大值为。

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）当时，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。

（Ⅲ）当时，函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围。

5. 已知函数在x=1处有极值-2

　　（1）求常数a、b；（2）求曲线y=f(x)与x轴所包围的面积

6相交于点B，从点B向x轴引垂线垂足为H，设被分成三部分的面积分别是，当时，求的值。

6．（2006年东营）设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f (x)可能为（　　）

7．（2006年福建卷）已知直线与抛物线相切，则

8．函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为　　　　　　　　　.

9．某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为              .

10．

10．已知二次函数满足：①在时有极值；②图象过点，，且在该点处的切线与直线平行．

（1）求的解析式；

（2）求函数的单调递增区间.

11．设：在和上是单调增函数；

   ：不等式的解集为.

    如果与有且只有一个正确，求的取值范围.