高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行导学案及答案

8.5.2  直线与平面平行

【学习目标】

【自主学习】

一．直线与平面平行的判定定理

注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面α外，即a⊄α.

(2)直线b在平面α内，即b⊂α.

(3)两直线a，b平行，即a∥b.

二．直线与平面平行的性质定理

注意：线面平行的性质定理成立的条件有三个, 缺一不可：

(1)直线a与平面α平行，即a∥α；

(2)平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；

(3)直线a在平面β内，即a⊂β.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)

(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．(　　)

(3)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　)

(4)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．(　　)

2.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．

【经典例题】

题型一　线面平行判定定理的理解

例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A．相交　　 B．b∥α

C．b⊂α　　 D．b∥α或b⊂α

【跟踪训练】1 下列说法正确的是(　　)

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α

D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

题型二 直线与平面平行的判定

点拨：应用判定定理证明线面平行的步骤

 “找”是证题的关键，其常用方法有：

①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．　

例2 如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.

求证：MN∥平面PAD.

【跟踪训练】2 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

题型三 线面平行性质定理的应用

点拨：

例3 如图，在三棱锥S­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A．EF与BC相交　　　　　　 B．EF∥BC

C．EF与BC异面   D．以上均有可能

【跟踪训练】3 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

【当堂达标】

1.已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)

A．b与α内的一条直线不相交

B．b与α内的两条直线不相交

C．b与α内的无数条直线不相交

D．b与α内的所有直线不相交

2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA      B．GH∥SD

C．GH∥SC      D．以上均有可能

3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　　　 B．相交

C．异面   D．不确定

4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3   D．4

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________________．

6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.

【课堂小结】

一．直线与平面平行的判定(证明)

1.定义法：判定(证明)直线与平面无公共点.

2.判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.用符号表示：a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α.

3.体现了转化思想

此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.此定理可简记为：线线平行⇒线面平行.

二．直线与平面平行的性质定理： a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

1.定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．

2.定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．

【参考答案】

【自主学习】

平面外 此平面内  平行  a⊄α，b⊂α，且a∥b   该直线 交线  a⊂β，α∩β＝b

【小试牛刀】

1. (1)×　　(2)×　(3)×　(4)√

2.l⊄α 解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．

【经典例题】

例1 D 解析: 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.

【跟踪训练】1 D解析: A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D．

例2 证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝DC，AM∥DC，

∴AM∥GN，AM＝GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG，

又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.

【跟踪训练】2证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

例3 B 解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.

【跟踪训练】3 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是AC的中点．

又因为点M是PC的中点，

所以AP∥OM.

又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

所以AP∥平面BDM.

因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，

AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.

【当堂达标】

1.D 解析：若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.

2.B 解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

3.A 解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.

4.C 解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．

5.平面AB B1A1  平面DCC1D1

如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，

在△A1C1D中，EF为中位线，所以EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，

C1D⊂平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.

同理，EF∥平面A1B1BA.

故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.

6.解：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.

因为OFB1C1，BEB1C1，

所以OFBE，所以四边形OFEB是平行四边形，所以EF∥BO.

因为EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，

所以EF∥平面BDD1B1.