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数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）课前预习课件ppt
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这是一份数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）课前预习课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，答案A等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.(数学抽象)2.了解函数的零点与方程解的关系.(数学抽象)3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.(逻辑推理)
[激趣诱思]请观察右图,这是气象局测得的某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被不小心擦掉了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?
知识点一:函数的零点(1)代数定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何定义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.(3)方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
微练习函数f(x)=x2-1的零点是( )A.(±1,0) B.(1,0)C.0D.±1答案 D解析 解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
知识点二:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.名师点析 定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可.
微思考若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)f(b)<0吗?提示 不一定,如函数f(x)=|x|在区间(-1,1)内有零点0,但是f(-1)f(1)>0.微练习函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 B解析 因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+lg3x;(3)f(x)=4x-16.
反思感悟 1.因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=lgn(mx+1)的零点.解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.令lg2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=lg2(-2x+1)的零点为0.
例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)lg2x;(2)f(x)=x2- ;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)lg2x=0,因此x2-4=0或lg2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.
(3)(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
反思感悟 判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3
答案 (1)B (2)B解析 (1)由题知,函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则Δ=4-4a<0,解得a>1,故选B.(2)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,即方程ln x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
例3(1)方程lg3x+x=3的实数解所在的区间为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .
答案 (1)C (2)1解析 (1)令f(x)=lg3x+x-3,则f(1)=lg31+1-3=-2<0,f(2)=lg32+2-3=lg3 <0,f(3)=lg33+3-3=1>0,f(4)=lg34+4-3=lg312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程lg3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知 f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
反思感悟 1.若函数连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数零点存在定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的区间的端点建立不等式求参数的范围.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若能直接解方程,则求出根后判断,若不能够解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点存在定理转化为求函数的零点.3.函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.
变式训练3若函数f(x)=x2- -1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=( )A.1B.2C.3D.4
答案 [-1,+∞)解析 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有2个交点.作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.
变式训练4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 . 答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正解和一个负解;(2)方程的两个解都大于1.
【规范答题】解 令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图1,2所示.
因此f(x)=0有一个正解和一个负解等价于 解得0
方法点睛 若二次方程的根(或二次函数的零点)在一个区间上,则要考虑二次方程(或二次函数对应的方程)判别式Δ≥0,方程相对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号(求解此类问题可以画出相应的函数图象求解).
1.函数f(x)=x2-4x-12的零点是( )A.(6,0)B.(-2,0),(6,0)C.-2和6D.以上都不是答案 C解析 令f(x)=0,即x2-4x-12=0,解得x=-2或x=6,故f(x)的零点是-2和6.
2.若函数f(x)=x2+(m-3)x+m的零点都在(0,+∞)内,则m的取值范围是( )A.(0,1] B.(0,2)C.(-3,0)D.(-1,3)答案 A
3.(2020浙江台州一中高一期中)设函数f(x)= -lg2x,则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)答案 B解析 由题意得f(1)=1-0=1>0,f(2)= -1=- <0,所以f(1)f(2)<0.又因为函数是(0,+∞)上的连续函数,由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
4.下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴公共点的横坐标.A项中函数图象与x轴没有公共点,所以该函数没有零点;B项中函数图象与x轴有一个公共点,所以该函数有一个零点;C,D两项中的函数图象与x轴有两个公共点,所以该函数有两个零点.故选A.
5.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
6.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为 . 答案 2解析 令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.
1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.(数学抽象)2.了解函数的零点与方程解的关系.(数学抽象)3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.(逻辑推理)
[激趣诱思]请观察右图,这是气象局测得的某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被不小心擦掉了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?
知识点一:函数的零点(1)代数定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何定义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.(3)方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
微练习函数f(x)=x2-1的零点是( )A.(±1,0) B.(1,0)C.0D.±1答案 D解析 解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
知识点二:零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.名师点析 定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可.
微思考若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)f(b)<0吗?提示 不一定,如函数f(x)=|x|在区间(-1,1)内有零点0,但是f(-1)f(1)>0.微练习函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 B解析 因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+lg3x;(3)f(x)=4x-16.
反思感悟 1.因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=lgn(mx+1)的零点.解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实数解.令lg2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=lg2(-2x+1)的零点为0.
例2判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)lg2x;(2)f(x)=x2- ;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)lg2x=0,因此x2-4=0或lg2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.
(3)(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
反思感悟 判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3
答案 (1)B (2)B解析 (1)由题知,函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则Δ=4-4a<0,解得a>1,故选B.(2)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图所示).由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,即方程ln x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
例3(1)方程lg3x+x=3的实数解所在的区间为( )A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .
答案 (1)C (2)1解析 (1)令f(x)=lg3x+x-3,则f(1)=lg31+1-3=-2<0,f(2)=lg32+2-3=lg3 <0,f(3)=lg33+3-3=1>0,f(4)=lg34+4-3=lg312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程lg3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知 f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
反思感悟 1.若函数连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数零点存在定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的区间的端点建立不等式求参数的范围.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若能直接解方程,则求出根后判断,若不能够解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点存在定理转化为求函数的零点.3.函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.
变式训练3若函数f(x)=x2- -1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=( )A.1B.2C.3D.4
答案 [-1,+∞)解析 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有2个交点.作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.
变式训练4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 . 答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
函数与方程思想在一元二次方程解的分布问题中的应用典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正解和一个负解;(2)方程的两个解都大于1.
【规范答题】解 令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图1,2所示.
因此f(x)=0有一个正解和一个负解等价于 解得0
方法点睛 若二次方程的根(或二次函数的零点)在一个区间上,则要考虑二次方程(或二次函数对应的方程)判别式Δ≥0,方程相对应的二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号(求解此类问题可以画出相应的函数图象求解).
1.函数f(x)=x2-4x-12的零点是( )A.(6,0)B.(-2,0),(6,0)C.-2和6D.以上都不是答案 C解析 令f(x)=0,即x2-4x-12=0,解得x=-2或x=6,故f(x)的零点是-2和6.
2.若函数f(x)=x2+(m-3)x+m的零点都在(0,+∞)内,则m的取值范围是( )A.(0,1] B.(0,2)C.(-3,0)D.(-1,3)答案 A
3.(2020浙江台州一中高一期中)设函数f(x)= -lg2x,则函数f(x)的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)答案 B解析 由题意得f(1)=1-0=1>0,f(2)= -1=- <0,所以f(1)f(2)<0.又因为函数是(0,+∞)上的连续函数,由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
4.下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 函数y=f(x)的零点就是函数图象与x轴公共点的横坐标.A项中函数图象与x轴没有公共点,所以该函数没有零点;B项中函数图象与x轴有一个公共点,所以该函数有一个零点;C,D两项中的函数图象与x轴有两个公共点,所以该函数有两个零点.故选A.
5.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
6.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为 . 答案 2解析 令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.
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