高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试习题课件ppt

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1.能够利用均值不等式证明一般不等式.2.能够利用均值不等式解决实际问题.
知识点、均值不等式如果a,b都是正数,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.
微思考 均值不等式 应用的条件是什么?提示 一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.
要点笔记 在利用均值不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用均值不等式为止.
变式训练 1若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)
分析(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用均值不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用均值不等式,可得三个“2”连乘;又 ,可由此变形入手.
反思感悟 利用均值不等式证明不等式的注意事项(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用均值不等式时,可将原不等式进行组合、构造,变成能使用均值不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用均值不等式进行证明.
例3某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?分析(1)先确定每套丛书定价为100元时的销售量,从而可得每套供货价格,根据销售每套丛书的利润=售价-供货价格,可求得书商能获得的总利润;(2)先确定每套丛书售价范围,再确定单套丛书利润,利用均值不等式,可求单套丛书的利润最大值.
反思感悟 应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.
变式训练 3(2020北京高一月考)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村居住环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的号召,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
一题多解分析要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定值.这需要对条件进行必要的变形,可进行“1”的代换,也可以“消元”等.
方法点睛 本题给出了两种方法,都用到了均值不等式,且都对式子进行了变形,配凑出满足均值不等式的条件,这是应用均值不等式解决问题的常用方法.在应用均值不等式解决问题时,要学会观察,学会变形.另外,方法二通过消元,化二元问题为一元问题时,要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去x后,原来x的限制条件,应当由代替它的y来“接班”,此限制条件不会因“消元”而凭空消失).
2.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　　　　. 答案 25 m2
4.已知a,b,c为任意实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时,等号成立.