高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列第二课时学案设计

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[例1] 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
[解] 由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋eq \f(17×（17－1）,2)d＝25×9＋eq \f(9×（9－1）,2)d，
解得d＝－2，
法一(公式法)：Sn＝25n＋eq \f(n（n－1）,2)×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二(邻项变号法)：∵a1＝25＞0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＝25－2（n－1）≥0，,an＋1＝25－2n≤0，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，))即12eq \f(1,2)≤n≤13eq \f(1,2).
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
eq \a\vs4\al()
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
(2)邻项变号法：
当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))的项数n使Sn取最大值．
当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))的项数n使Sn取最小值．
[跟踪训练]
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A 设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋eq \f(n（n－1）,2)×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
[例2] (链接教科书第139页例5，例6)某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
[解] (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.
从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝eq \f(10×（40＋400）,2)＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为
T20＝eq \f(20×（390＋200）,2)＝5 900，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人)．
eq \a\vs4\al()
应用等差数列解决实际问题的一般思路

[跟踪训练]
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－eq \f(1,3).
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
[例3] 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an} 的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.
[解] (1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项是零的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一(公式法)：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝eq \f(33,2).
距离eq \f(33,2)最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an＜0.
所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故S′n＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(33n－n2（n≤17），,n2－33n＋544（n≥18）.))
eq \a\vs4\al()
1．给出数列{an}，要求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0(或an＜0)．
2．当{an}的各项都为非负数时，{|an|}的前n项和就等于{an}的前n项和；当从某项开始各项都为负数(或正数)时，求{|an|}的前n项和要充分利用{an}的前n项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
[跟踪训练]
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
解：等差数列{an}的公差为：
d＝eq \f(a17－a1,17－1)＝eq \f(－12－（－60）,16)＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d
＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
又因为an<0时，3n－63<0，即n<21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．
设Sn和Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．
当0Sn′＝－Sn＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－60n＋\f(3n（n－1）,2)))＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(123,2)n；
当n>20时，
Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋eq \f(3n（n－1）,2)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－60×20＋\f(20×19,2)×3))
＝eq \f(3,2)n2－eq \f(123,2)n＋1 260.
所以数列{|an|}的前n项和为：
Sn′＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)n，n≤20，,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1 260，n>20.))
1．设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( )
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
解析：选A 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0，))解得eq \f(7,2)≤n≤eq \f(9,2)，故n＝4.
2．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．29
解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1根．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________．
解析：易得an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,2n－5，n≥2.))
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
答案：66
等差数列的前n项和最值问题
等差数列前n项和公式的实际应用
求{|an|}的前n项和