高中苏教版 (2019)4.2 等差数列习题课件ppt

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1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点.
2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法.
等差数列中奇、偶项的和
问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？
问题2　当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd，
问题3　当总项数为2n－1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半.
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
由于a1＋a9＝2a5.
方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0).所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项.
(1)等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于A.6 B.8 C.10 D.12
∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120，∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，
(2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是______.
设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28， ①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md， ②由①②得d＝－4.
含绝对值的等差数列的前n项和
问题4　已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和.
提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n，当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－8n＋32.
(1)要先去掉绝对值才能求和；(2)找准分界点是解决此类问题的关键.
数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*).(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式，∴an＝101－2n(n∈N*).又an＋1－an＝－2为常数，∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2.由①②得数列{bn}的前n项和为
延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和.
由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an，数列{bn}的前n项和Tn＝－n2＋100n，当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an.数列{bn}的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000，
已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.
在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
当n≥18时，an<0，∴数列{an}的前17项和最大.
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和.2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法.3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.
1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2 D.1,0.5
由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，
由于S2n－1＝(2n－1)an，
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是A.第6项 B.第7项 C.第12项 D.第13项
由题意得，S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，S5＝－25，bn＝|an|， {bn}的前n项和为Tn，则T10＝______.
设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－9，S5＝－25.
∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.∵bn＝|an|，∴bn＝|2n－11|，∴T10＝|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝2(1＋3＋5＋7＋9)＝50.
1.在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，则{an}的前8项的和为A.3 B.4 C.5 D.6
由等差中项的性质可知a2＋a4＋a6＝3a4＝－3，所以a4＝－1，同理a5＝2，所以a4＋a5＝1，S8＝4(a4＋a5)＝4.
2.已知等差数列{an}的公差为2，项数为偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A.10 B.20 C.30 D.40
设这个数列的项数是2k，则奇数项之和为a1＋a3＋…＋a2k－1＝15，偶数项之和为a2＋a4＋…＋a2k＝25，∴(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝25－15＝10.∵等差数列{an}的公差为2，∴2k＝10，∴这个数列的项数是10.
4.已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于A.24 B.25 C.26 D.27
因为an＝5－n，所以当n≤5时，an≥0，当n≥6时，an<0；因此|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a6＋a7＋a8＋a9＋a10)＝(4＋3＋2＋1＋0)＋(1＋2＋3＋4＋5)＝10＋15＝25.
6.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
7.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_____，项数是____.
设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项.
8.已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为_____.
由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.
∵a3＝12，∴a1＝12－2d.∵S12＞0，S13＜0，
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；
∵S12＞0，S13＜0，
(2)问前几项的和最大，并说明理由.
∴a6＞0，又由(1)知d＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.
10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
设数列{an}的前n项和为Sn，
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
11.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
由题意，令Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(3n＋2)，
因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
14.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为____.
由题意，得数列{an}为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470，设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得
又因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N*.
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.