高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案，共6页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.理解等差数列的通项公式的意义；
2.能在具体的情境中发现数列的等差关系，并解决相关问题；
3.体会等差数列与一次函数的关系；
4.通过等差数列的通项公式的推导，培养学生的数学抽象、逻辑推理等素养.
教学重难点
重点：理解等差数列的通项公式的意义．
难点：利用等差数列解决相关问题．
教学过程
一、新课导入
情境：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.按此规则，问：2050年举行奥运会吗？
分析：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列.这个数列为1896，1900，1904，1908，…
要判断2050年是否举行奥运会，只需要看2050是否在这个数列内.
追问：如何判断2050是否在这个数列内呢？
答案：写出数列的通项公式，看是否存在n∈N∗时， an=2050.
这节课我们一起来研究等差数列的通项公式.
二、新知探究
问题1：观察等差数列an
4，7，10，13，16，…，
如何写出它的第100项a100呢？
分析：试着用等差数列的取值规律表示每一项.
答案：a1=4，
a2=7=4+3，
a3=10=4+3×2，
a4=13=4+3×3，
…
从而 a100=4+3×99=301.
想一想：设数列an是一个首项为a1，公差为d的等差数列，根据上面的等式规律你能写出它的第n项an吗？
答案：一般地，对于等差数列an的第n项an，有 an=a1+(n−1)d.
追问：能否证明上面的结论？
证明：因为an为等差数列，所以当n≥2时，有
a2−a1=d，
a3−a2=d，
…
an−an−1=d.
将上面n−1个等式的两边分别相加，得
an−a1=(n−1)d，
所以 an=a1+(n−1)d.
当n=1时，上面的等式也成立.
总结：首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n−1)d.
练一练：等差数列9，5，1，…的第101项是多少？
解：由a1=9，d=5−9=−4，
得a101=a1+n−1d=9+101−1×−4=−391.
问题2：现在你能否解决前面提到的情境问题？
答案：由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为an=1896+4n−1
=1892+4n(n∈N∗).
假设an=2050，则2050=1892+4n，解得n=39.5.
所以an=2050无正整数解.
答：按此规则，2050年不举行奥运会.
问题3：我们知道，数列是一种特殊的函数，观察等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d，你发现an与n的关系与以前所学过的什么函数有关？
追问1：在通项公式an=a1+(n−1)d中，谁是常量，谁是变量？
答案：a1和d是常量，an和n是变量.
追问2：变量之间有什么变化关系？
答案：an随n的变化而变化，且每一个n的值对应一个an.所以an是关于n的函数．
小结：将an=a1+(n−1)d整理一下，可得an=a1+(n−1)d=dn+(a1−d)，可将an记作f（n）.它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.
（1）当公差d=0时，f（n）是常数函数，此时数列an是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；
（2）当公差d≠0时，f（n）是自变量取整数的一次函数.
问题4：你能画出等差数列an的图象吗？
追问1：an的图象与一次函数y=dx+(a1−d)的图象有什么关系？
答案：等差数列的图象是一次函数图象的一个子集，是图象上一些间隔的点．
追问2：公差d的几何意义是什么？
答案：公差d是对应直线y=dx+(a1−d)的斜率.
追问3：d的取值对图象的增减性是否有影响？
答案：有，分d＞0，d＜0，d=0.
小结：等差数列an的图象是斜率为d，截距为a1−d的直线上，自变量取正整数的点组成的集合.
总结：等差数列的增减性
当d＞0时，数列an为递增数列；
当d＜0时，数列an为递减数列；
当d=0时，数列an为常数列.
设计意图：通过等差数列的通项公式的推导过程强化对通项公式意义的理解，并通过探究通项公式体会等差数列与一次函数的关系.
三、应用举例
例1 在等差数列an中，
（1）已知a1=3，公差d=−2，求a6；
已知a3=10，a9=28，求an.
思考1：等差数列由哪些基本量确定？
答案：a1和d.
思考2：已知任意两项如何确定通项an？
答案：利用通项公式列方程组求解即可.
解：（1）由等差数列的通项公式，得
a6=3+6−1−2=−7.
（2）设等差数列的公差为d，那么
a1+2d=10，a1+8d=28，
解得 a1=4，d=3.
所以 an=4+n−1·3=3n+1.
已知等差数列an得通项公式为an=2n−1，求首项a1和公差d.并画出它的图象.
思考1：已知通项如何求a1和d？
答案：令n=1求a1，an＋1an=d.
思考2：an=2n−1 与哪个函数有关？
答案：与一次函数y=2x−1有关.
解：a1=2×1−1=1，
a2=2×2−1=3，
所以d=a2−a1=3−1=2.
等差数列an=2n−1是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点(n，an)均在直线y=2x−1上.
设计意图：通过例题，对等差数列的通项公式进行练习，掌握求等差数列的通项公式的方法，并通过画图进一步体会等差数列与一次函数的关系．
四、课堂练习
1．(1) 求等差数列8，5，2…的第20项．
(2) 已知{an}是等差数列，且a2＝-5，a6＝a4＋6，求首项a1和公差d．
2. -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
3. 诺沃尔（Knwall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.
（1）从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
（2）你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
4.已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；
(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．
参考答案：
1．(1) 由已知条件得a1＝8，d＝5-8＝-3，n＝20，从而a20＝8＋(20-1)×(-3)＝-49．
所以这个数列的第20项是-49.
(2) 解：设数列{an}的通项公式为an= a1+( n-1)d，
由已知得a1+d=-5a1+5d=a1+3d+6，解得a1＝-8，d＝3．
2. 由a1=-5,d=-9-(-5)=-4，
得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1，
令-4n-1=-401，解得n=100，
由于100∈N∗，所以-401是这个等差数列中的项，是第100项.
3. 解：（1）由题意知，彗星出现的年份构成的数列是一个以1823为首项，83为公差的等差数列.这个数列的通项公式为an=1740+83n−1
=1657+83n(n∈N∗).
所以，a8=1657+83×8=2321.
（2）假设an=2500，则2500=1657+83n，解得n≈10.2.
所以an=2500无正整数解.
所以这颗彗星不会在2500年出现.
4.(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，
由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得
2d+b=1，4d+b=5，解得b=−3，d=2，所以an＝2n−3.
(2)(n，17)是{an}图象上的点．
由2n−3＝17，得n＝10∈N*，
所以(10，17)是{an}图象上的点．
(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．
令2n−3>0，得n>32，
即n≥2.
所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.
五、课堂小结
①首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n−1)d.公式中有四个量，已知其中任意三个量可求第四个量；
②等差数列与函数的关系：
an=dn+(a1−d)，可将an记作f（n）.它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.
当公差d=0时，f（n）是常数函数；
当公差d≠0时，f（n）是自变量取整数的一次函数.
六、布置作业
教材第133页练习第1，3，4题．