数学选择性必修第一册第4章 数列4.2 等差数列课后作业题

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1．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列
解析：选A an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列．
2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq \\al(2,3)，则公差d＝( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
解析：选AB 根据题意知，a4＋a8＝aeq \\al(2,3)⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
解得d＝eq \f(1,2)或d＝0.
3．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：选C ∵b是x，2x的等差中项，∴b＝eq \f(x＋2x,2)＝eq \f(3x,2)，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，
∴a＝eq \f(x,2)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,3).
4．《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.eq \f(7,3)斤 B.eq \f(7,2)斤
C.eq \f(5,2)斤 D.3斤
解析：选B 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－eq \f(1,2)，所以a2＝4－eq \f(1,2)＝eq \f(7,2).
5．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
解析：选B ∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
故数列中第一个负数项是第8项．
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝________，a6＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝2.))
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝2×6＋1＝13.
答案：3 13
7．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：5
8．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：设此等差数列为{an}，公差为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)＝eq \f(67,66).
答案：eq \f(67,66)
9．若eq \f(1,b＋c)，eq \f(1,a＋c)，eq \f(1,a＋b)是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
证明：由已知得eq \f(1,b＋c)＋eq \f(1,a＋b)＝eq \f(2,a＋c)，通分有eq \f(2b＋a＋c,（b＋c）（a＋b）)＝eq \f(2,a＋c).
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)·(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，
所以a2，b2，c2成等差数列．
10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解：设数列{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋4d＝8，,a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3，))
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，
解得28eq \f(1,3)所以n的取值为29，30，…，38，共10项．
[B级 综合运用]
11．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析：选AC ∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确．
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确．
12．(多选)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B．a3a6C．a3＋a6＝a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
解析：选BC 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq \\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq \\al(2,1)＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B、C.
13．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(11≤12n－1≤302，,11≤12n－1≤399，))解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
答案：12n－1 25
14．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由．
解：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)，
所以eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)(常数)．
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)为首项，公差为eq \f(1,2)的等差数列．
[C级 拓展探究]
15．已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列．
(1)若a20＝40，求d;
(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列．以此类推，把已知数列推广为无穷数列．
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3.
(2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)，
故a30＝10eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(d＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)))，
当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)，＋∞)).
(3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列．