数学4.2 等差数列教案

这是一份数学4.2 等差数列教案，共5页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念；
2.能用定义判断一个数列是否为等差数列；
3.通过等差数列概念的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理等素养.
教学重难点
重点：理解等差数列的概念．
难点：会判断一个数列是否为等差数列．
教学过程
一、新课导入
问题1：前面我们学习了这两个数列，你能发现这两个数列的取值有什么规律吗？
20，22，24，26，28，…. ①
1740，1823，1906，1989，2072，…. ②
答案：数列①：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2．
数列②：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是−17．
二、新知探究
问题2：观察下面3个数列，你能发现每个数列的取值有什么规律吗？
第23届到第31届奥运会举行的年份依次为
1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016. ①
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次为
0.2，0.2+0.1，0.2+0.1×2，0.2+0.1×3，…. ②
如果1年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10000元分别存1个月、2个月、3个月……12个月，所得的本利和依次为
10000+16.5，10000+16.5×2，…，10000+16.5×12. ③
追问1：数列①中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4．
追问2：数列②中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是0.1．
追问3：数列③中的取值有何规律？
答案：从第2项起，每一项与它的前一项的差都是16.5．
问题3：这些数列有什么共同的特点？
答案：对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数.
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用d表示.
在等差数列an中，始终有
an−an−1=d(n≥2，n∈N*).
注意：①从第二项起；②后一项减去前一项等于同一个常数.
问题4：能否说出前面三个数列的公差？
答案：数列①：d=4；数列②：d=0.1；数列③：d=16.5.
设计意图：通过分析、比较三个数列,概括它们的共同特点,从特殊到一般得出等差数列的概念,并辨析概念．
【概念巩固】
思考:判断以下数列是否是等差数列？若是，指出公差；若不是，说明理由．
（1）7，13，19，25，31；
（2）2，4，7，11；
（3）-1，-3，-5，-7．
答案:（1）因为13-7＝19-13＝25-9＝31-25＝6，
所以这个数列是等差数列，公差为6；
（2）因为4-2＝2，7-4＝3，7-4≠4-2，所以这个数列不是等差数列；
（3）因为-3-(-1)＝-5-(-3)＝-7-(-5)＝-2，
所以这个数列是等差数列，公差为-2．
总结：如何判断一个数列是否是等差数列？
通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数：若是，则是等差数列，若否，则不是等差数列.
三、应用举例
例1 判断下面数列是否为等差数列.
（1）1，1，1，1，1；
（2）4，7，10，13，16；
（3）−3，−2，−1，1，2，3.
思考：如何判断一个数列是否为等差数列？
解：（1）所给数列是首项为1，公差为0的等差数列.
（2）所给数列是首项为4，公差为3的等差数列.
（3）因为(−1) −( −2)≠1−(−1)，
所以这个数列不是等差数列.
例2 求出下列等差数列的未知项：
（1）3，a，5；
（2）3，b，c，−9.
解：（1）根据题意，得a−3=5−a，
解得 a=4.
（2）根据题意，得b−3=c−b，c−b=−9−c.
解得 b=−1，c=−5.
例3 （1）在等差数列an中，是否有an=an−1+an+12(n≥2)？
（2）在数列an中，如果对于任意正整数n(n≥2)，都有an=an−1+an+12，
那么数列an一定是等差数列吗？
解：（1）因为数列an是等差数列，所以
an+1−an=an−an−1(n≥2)，
所以 an=an−1+an+12.
（2）在数列an中，如果对于任意正整数n(n≥2)，都有
an=an−1+an+12，
从而 an+1−an=an−an−1(n≥2).
这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{an}是等差数列.
小结：
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.
如果A是a与b的等差中项，那么A−a=b−A，所以A=a+b2．
条件：如果a，A，b成等差数列.
结论：那么A叫做a与b的等差中项.
满足的关系式：a+b=2A.
显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等差中项.
设计意图：通过例题，对等差数列的概念进行练习，掌握如何判断一个数列是否为等差数列．
四、课堂练习
1.判断下列数列是否为等差数列，如果是，写出它的公差.
(1) 95，82，69，56，43，30；
(2) 2，2，2，2，2；
(3) 1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；
(4) 1，-2，3，-4，5，-6；
(5) 1，1112， 56， 34， 23， 712， 12 .
2.判断下面数列是否为等差数列.
（1）an=2n-1；（2）an=(-1)n.
3.已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（1）2，（ ），6；
（2）0，（ ） ，−4；
（3）1，3，（ ）.
（4）30，（ ），（ ），21.
4.已知数列an是等差数列.
（1）如果a1=2，a3=6，求公差d和a2；
（2）如果a2=2，a3=5，求公差d和a1.
参考答案：
1．(1)是，公差是13.
(2)是，公差是0.
(3)不是.
(4)不是.
(5)是，公差是-112.
2．解：（1）由an=2n-1，得an+1=2(n+1)-1，于是an+1-an=[2(n+1)-1]-( 2n-1)=2.
由n的任意性知，这个数列是等差数列.
（2）a2-a1=1-(-1)=2，a3-a2=-1-1=-2.
因为a2-a1≠a3-a2，所以这个数列不是等差数列.
3.（1）4；（2）−2；（3）23−1；（4）27，24.
4.解：（1）由等差数列的定义可知a2−a1=a3−a2=d，所以a2=4，d=2.
（2）由等差数列的定义可知a2−a1=a3−a2=d，所以d=3，a1=−1.
五、课堂小结
①判断一个数列是否为等差数列，可通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数：若是，则是等差数列，若否，则不是等差数列.
②如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.
如果A是a与b的等差中项，那么A−a=b−A，所以A=a+b2．
六、布置作业
教材第130-131页练习第1，3，5，6题．