【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列的性质【讲义+习题】

习题课　等差数列的性质
学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
导语
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质．
一、由等差数列构造新等差数列
问题1　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
提示　设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝d.
知识梳理
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)

例1　有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
答案　B
解析　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，
所以通项公式为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，
而n∈N*，所以n的最大值为16.
反思感悟　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数．
跟踪训练1　已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
答案　12n－1　25
解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
二、等差数列中任意两项之间的关系
问题2　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？
提示　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.
知识梳理
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)；
(3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
注意点：若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：＝，即＝，＝－1，故an＋m＝0)．
例2　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d)
设数列 {an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
方法二　(利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
反思感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练2　已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
答案　8
解析　方法一　∵{bn}为等差数列，
∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二　由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
三、等差数列中多项之间的关系
问题3　若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？
提示　由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.
知识梳理
1．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….
例3　已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于(　　)
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
答案　B
解析　因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
延伸探究　
在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
解　方法一　设数列{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.
反思感悟　等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪训练3　数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.
答案　C
解析　由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列．
又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.

1．知识清单：
(1)由等差数列构造新的等差数列．
(2)等差数列中任意两项之间的关系．
(3)等差数列中多项之间的关系．
2．方法归纳：公式法、构造法、解方程组法．
3．常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐．


1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)
A．3 B．－6 C．4 D．－3
答案　B
解析　由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　A
解析　由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
3．在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有(　　)
A．a5＝4 B．a6＝4
C．a5＝2 D．a6＝2
答案　C
解析　因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
4．在等差数列{an} (n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________．
答案　－15
解析　∵数列{an}是等差数列，
∴a1＋a5＝a2＋a4，
又a1＝a2＋a4，
∴a5＝0，
∴d＝＝＝－1，
故a20＝a5＋15d＝－15.


1．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　)
A．7 B．5
C．3 D．1
答案　D
解析　由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　)
A．5 B．8
C．10 D．14
答案　B
解析　方法一　设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．12 B．8
C．6 D．4
答案　B
解析　由等差数列的性质，得
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，
又d≠0，∴m＝8.
4．在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　∵a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，
∴5a7＝100，
∴a7＝20，
∵a6－a2＝12，
∴4d＝12，
∴d＝3，
∴a7＝a1＋6d＝20，
∴a1＝2.
5．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　)
A．13 B．3－
C．3－ D．5－
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.
6．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　)
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
答案　BCD
解析　数列－1,1,3是等差数列，
取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．
若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，
{an＋1－an}为常数列，
故是等差数列，B成立．
若{an}的公差为d，
则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，
故{pan＋q}是等差数列，C成立．
(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，
故{2an＋n}是等差数列，D成立．
7．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
答案　4
解析　∵在等差数列{an}中，
a＋2a2a8＋a6a10＝16，
∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，
∴a4a6＝4.
8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
答案　35
解析　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，
所以a5＋b5＝35.
9．在等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17，
由解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
10．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a23的值．
解　(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，
又由a3a8a13＝28，得a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，
解得d＝±，
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝；
当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝.
(2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，
当d＝－时，an＝，
则a23＝＝－5，
则a23＝13或a23＝－5.

11．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17
答案　C
解析　设公差为d，
∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
12．等差数列an中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于(　　)
A．10 B．15 C．20 D．40
答案　B
解析　∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a2＋a2 022＝10，
由等差数列的性质得2a1 012＝10，即a1 012＝5，
∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15.
13．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
答案　C
解析　由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
所以a51＝0，
故a3＋a99＝2a51＝0.
14．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________.
答案　7
解析　∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，
∴a1＋a12＝a2＋a11＝a3＋a10＝a4＋a9＝a5＋a8＝a6＋a7＝＝，
∴a2＋a5＋a8＋a11＝7.

15．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________.
答案　1
解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，
所以＋＝＝＝＝1.
16．已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？
解　an＝a5＋(n－5)d＝4n－16.在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12，公差d′＝d＝，
∴bn＝－12＋(n－1)＝n－.
∴b50＝.
由a50＝184＝n－，得n＝148.
∴a50是新数列的第148项．