初中数学21.2 二次函数的图象和性质教案

第5课时　用待定系数法求二次函数的解析式

教学目标

1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法．

2．能灵活地根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．

3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．

教学重难点

根据不同条件选择不同的方法来求二次函数的关系式．

教学过程

导入新课

1．回忆二次函数关系式的两种类型：一般式和顶点式．

2．一般式和顶点式的区别与联系．

推进新课

一、合作探究

【问题1】 已知一个二次函数的图象过点(0,1)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．

分析：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9)，因此，可以设函数关系式为y＝a(x－8)2＋9.

由于二次函数的图象过点(0,1)，将(0,1)代入所设函数关系式，即可求出a的值．

请同学们完成本例的解答．

【问题2】 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝3，求二次函数的关系式．

解：由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，

所以此二次函数的顶点坐标为(－3，－1)．

设二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1.

因为二次函数图象过点(0,3)，

所以有3＝a(0＋3)2－1，解得a＝.

所以所求二次函数的关系式为y＝(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3.

总结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大．

【问题3】 已知二次函数的图象过(1,0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数的解析式．

思路分析：此题已知三点为任意三点，没有顶点，所以此函数只能设二次函数的一般式，把三点坐标代入二次函数的解析式，得到一个三元一次方程组，然后解这个三元一次方程组，求得a、b、c的值．

此题由学生解答，对于解三元一次方程组的问题，如学生遗忘，教师应进行指导．

总结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；(3)会解简单的三元一次方程组．

二、巩固提高

1．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．

解：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4.

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，

所以抛物线过点(0,4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.

所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，

即y＝2x2－8x＋4.

2．如图所示，求二次函数的关系式．

分析：观察图象可知，A点坐标是(8,0)，C点坐标为(0,4)．从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2,0)，问题转化为已知三点求函数关系式．

解：观察图象可知，A，C两点的坐标分别是(8,0)，(0,4)，对称轴是直线x＝3，

所以B点坐标为(－2,0)．

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0,4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8,0)，(－2,0)两点，可以得到

解这个方程组，得

所以所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4.

三、达标训练

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0,1)，B(－1,0)，C(1,0)，那么此函数的关系式是______．如果y随x的增大而减小，那么自变量x的变化范围是________．

2．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c.

3．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1,12)，(0,5)和(2，－3)，求a＋b＋c的值．

4．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关系式．

5．已知二次函数过点A(0，－2)，B(－1,0)，C.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)判断点M是否在直线AC上．

6．如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A．二次函数y＝ax2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上．

(1)求点A与点C的坐标；

(2)当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2＋bx的关系式．

本课小结

1．求二次函数的关系式，常见的有两种类型：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；

(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)．

2．用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式．

(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c的形式．二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数．

(2)当已知抛物线的顶点(或最值)与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x＋h)2＋k的形式．

一、巧求二次函数表达式

二次函数常见表达式有一般式(也称三点式)、顶点式(也称配方式)和两根式(也称交点式)三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．

1．如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图象经过三个一般的点，那么一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

【例1】 已知二次函数的图象经过点(1,2)，(－1，－2)，(0,3)，求这个二次函数的表达式．

解：因为已知的三点仅是一般的点，故设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，则 解得所以所求的二次函数表达式为y＝－3x2＋2x＋3.

2．如果已知条件是二次函数的最大(小)值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用顶点式y＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

【例2】 已知二次函数的图象的顶点坐标为(2，－3)，且经过点(0,3)，求这个函数的表达式．

解：因为函数图象的顶点坐标为(2，－3)，故可设其表达式为y＝a(x－2)2－3，又经过点(0,3)，故3＝a(0－3)2－3，解得a＝.

所以y＝(x－3)2－3或y＝x2－4x＋3.

3．如果已知条件是二次函数图象与x轴交点坐标，那么可采用两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

【例3】 已知二次函数的图象交x轴于点(－2,0)和(6,0)，且经过点(1,15)，求它的表达式．

解：这里x1＝－2，x2＝6，故可设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－6)．

把x＝1，y＝15代入，得15＝a×3×(－5)，a＝－1.所以y＝－(x＋2)(x－6)＝－x2＋4x＋12.

4．综合运用各种表达式，再利用比较系数法．

【例4】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为(2，－3)，且在x轴上截得的线段长为2，求a，b，c的值．

解：由已知，设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2－3，即y＝ax2－4ax＋4a－3，故Δ＝16a2－4a(4a－3)＝12a＞0.设抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)，由题意，得|x1－x2|＝2.

所以＝＝＝2，解得a＝1.

故y＝(x－2)2－3，即y＝x2－4x＋1.

所以a＝1，b＝－4，c＝1.

二、求变换后抛物线的关系式

二次函数的图象是抛物线，对抛物线进行平移、旋转、翻折等变换后，所求相应的抛物线的关系式也发生了变化，下面探讨如何求变换后的二次函数的关系式．

1．平移变换

将抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移m(m＞0)个单位，再向上平移n(n＞0)个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为(h＋m，k＋n)；将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移m(m＞0)个单位，再向下平移n(n＞0)个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为(h－m，k－n)．

【例1】 将抛物线y＝2x2－4x＋5先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后所得抛物线的关系式．

分析：要求平移后的抛物线关系式，首先将y＝2x2－4x＋5配方，确定其顶点坐标，然后根据平移公式求出平移后所得抛物线的顶点坐标，即可求得平移后的抛物线．

解：因为y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，其顶点坐标为(1,3)，所以平移后的抛物线的顶点坐标是(1＋3，3－2)，即为(4,1)，所以平移后的抛物线的关系式为y＝2(x－4)2＋1，也就是y＝2x2－16x＋33.

点拨：平移前抛物线与平移后的抛物线的关系式的二次项的系数相同．

2．翻折变换

将抛物线y＝a(x－h)2＋k沿x轴翻折后得到的抛物线与原抛物线关于x轴对称，所以两抛物线顶点的横坐标相同，纵坐标和a都互为相反数；

将抛物线y＝a(x－h)2＋k沿y轴翻折，得到的抛物线与原抛物线关于y轴对称，所以两抛物线的顶点的纵坐标和a不变，顶点的横坐标互为相反数．

【例2】 把抛物线y＝－2x2＋4x＋3以x轴翻折后，则所得的抛物线关系式为__________．

解析：要求翻折后的抛物线的关系式，则需要求出y＝－2x2＋4x＋3的顶点坐标．根据顶点坐标的变化，再求出翻折后所得抛物线的顶点坐标．

y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，其顶点坐标是(1,5)，以x轴翻折所得抛物线的顶点坐标是(1，－5)，相应抛物线的关系式为y＝2(x－1)2－5，即y＝2x2－4x－3.

答案：y＝2x2－4x－3

点拨：观察沿x轴翻折后抛物线的关系式与原抛物线的关系式，可知它们的各项的系数互为相反数．

3．旋转180°

将抛物线y＝a(x－h)2＋k绕顶点旋转180°，所得抛物线与原抛物线的顶点坐标相同，开口方向相反．

【例3】 将抛物线y＝－(x－3)2＋5绕顶点旋转180°后的关系式为__________．

分析：观察已知抛物线的开口向下，顶点坐标是(3,5)，将抛物线绕顶点旋转180°后，所得的抛物线开口向上，顶点坐标不变．

解析：所得抛物线的关系式为y＝(x－3)2＋5.

答案：y＝(x－3)2＋5

三、系数符号与抛物线的图象关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)系数的符号与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象有着非常密切的关系，我们既可以根据a，b，c的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的位置确定a，b，c的符号．

a决定开口方向和开口大小：a的正负决定抛物线的开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下，简记为“上正下负”；|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线开口越小，反之越大．

a与b决定对称轴的位置：b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；若a，b同号，对称轴在y轴的左侧；若a，b异号，对称轴在y轴的右侧，简记为“左同右异”．

c决定抛物线与y轴的交点位置：抛物线与y轴的交点为(0，c)，当c＝0时，抛物线过原点；当c＞0时，抛物线交y轴于正半轴；当c＜0时，抛物线交y轴于负半轴，简记为“上正下负”．

记忆口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象现；

开口、大小由a断，c与y轴来相见；

b的符号较特别，符号与a相关联；

顶点位置先找见，y轴作为参考线；

左同右异中为0，牢记心中莫混乱；

顶点坐标最重要，一般式配方它就现；

横标即为对称轴，纵标函数最值见．

1．由系数符号确定抛物线的位置

【例1】 已知a＜0，b＞0，c＞0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在(　　)．

A．第一象限　　　　 B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限

解析：由a＜0，b＞0，知x＝－＞0，

又由c＞0，知4ac－b2＜0，

所以y＝＞0.所以抛物线的顶点在第一象限内，故选A．

答案：A

2．由抛物线的位置确定a，b，c的符号

【例2】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则a，b，c满足(　　)．

A．a＜0，b＜0，c＞0     B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0     D．a＞0，b＜0，c＞0

解析：因为抛物线的开口向下，所以a＜0；对称轴在y轴的左侧，所以－＜0.再结合a＜0可得b＜0；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以c＞0.故应选A．

答案：A

3．综合运用图象和a，b，c的符号特征解决相关问题

【例3】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则点M在(　　)．

A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限

解析：因为抛物线的开口向下，所以a＜0.

因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

所以c＞0.所以＜0.

因为抛物线的顶点在y轴的右边，所以－＞0，可知b与a异号．再结合a＜0可知b＞0，所以点M在第四象限，故选D．

答案：D

【例4】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关于a，b，c间关系的判断正确的是(　　)．

A．ab＜0     B．bc＜0   C．a＋b＋c＞0    D．a－b＋c＜0

解析：由对称轴在y轴左侧，可知－＜0，进而可知ab＞0，故可首先排除A；由抛物线的开口向下，可知a＜0，再结合对称轴在y轴左侧可知b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c＜0，进而可知bc＞0，故可排除B；由x＝1时，抛物线在x轴的下方，知当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故可排除C；由x＝－1时，抛物线在x轴的下方，知当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故应选D．

答案：D