初中数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质教案

二次函数y＝ax2的图象和性质

教学目标

1．能够用描点法作出函数y＝ax2的图象．

2．经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，能根据图象认识和理解其性质，体会数形结合的思想和方法．

教学重难点

函数y＝ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y＝ax2的图象与性质．

教学过程

导入新课

【导语一】 回忆一次函数和正比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？

【导语二】 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

【导语三】 用红色的乒乓球做投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

推进新课

一、新知探究

【问题1】 画y＝x2的图象：

学生动手实践、尝试画y＝x2和y＝－x2的图象．

教师分析，画图象的一般步骤：列表→描点→连线．

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性的画出y=x2的图象，如图．

【问题2】 在坐标系中，画出y＝x2，y＝2x2，y＝－x2的图象．

学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出其中两个函数的图象．

【问题3】 共同探究：二次函数图象有何特征？

结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．

画二次函数的图象的方法及应注意的问题：

画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行：①列表、取值；②描点；③连线．但初学者对三个步骤易犯下列错误，注意避免．

易错点1：表格中，取值过多或过少．画函数y＝ax2的图象，取对应值时，一般取5组或7组有代表性的对应值即可．

易错点2：连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不像抛物线．

【问题4】 比较图中三个抛物线的异同．

相同点：(1)顶点相同，其坐标都为(0,0)；(2)对称轴相同，都为y轴．

不同点：开口大小不同，开口方向不同．

【问题5】 你能归纳出二次函数y＝ax2的图象特征及性质吗？

师生共同归纳y＝ax2的图象特征及性质：

(1)二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线．

(2)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点在原点．a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当x＝0时，此函数取得最小值，y最小值＝0.a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．当x＝0时，此函数取得最大值，y最大值＝0.

(3)a＞0时，在y轴的左侧是下降的，即x＜0时，函数值y随x值的增大而减小；在y轴的右侧是上升的，即x＞0时，函数值y随x值的增大而增大．

a＜0时，在y轴的左侧是上升的，即x＜0时，函数值y随x值的增大而增大；在y轴的右侧是下降的，即x＞0时，函数值y随x值的增大而减小．

(4)|a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．

二、应用迁移

1．抛物线y＝2x2的顶点坐标是________，对称轴是________，在________侧，y随着x值的增大而增大；在________侧，y随着x值的增大而减小，当x＝________时，函数y的值最小，最小值是________，抛物线y＝2x2在x轴的__________方(除顶点外)．

2．抛物线y＝－x2在x轴的________方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x值的________；在对称轴的右侧，y随着x值的________，当x＝0时，函数y的值最大，最大值是________，当x________0时，y＜0.

三、拓展延伸

1．二次函数y＝ax2与y＝2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a＝________.

2．在同一坐标系中：①y＝x2，②y＝－x2，③y＝2x2这三个函数图象开口最大的是________，最小的是________，开口向下的是________．

3．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．

(1)求此抛物线的函数解析式；

(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；

(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．

本课小结

1．本节所学知识：(1)二次函数y＝ax2的图象的画法；(2)二次函数y＝ax2的图象的特征及其性质．

2．本节所用的方法：画图比较法．

3．函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？

奥赛链接

已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于__________．

解析：将y＝－2x＋3代入y＝x2，

得x2＋2x－3＝0，

解得x1＝－3，x2＝1.

所以A，B两点的坐标分别为A(-3,9)，B(1,1)．

直线y=-2x+3与y轴的交点为C(0,3)．S△AOC=＝，S△BOC=＝，所以S△OAB＝S△AOC ＋ S△BOC＝6.

答案：6