2020-2021学年21.2 二次函数的图象和性质教案及反思

　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

教学目标

1．能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象．

2．经历探索二次函数y＝ax2＋k的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．

3．理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系．

教学重难点

二次函数y＝ax2＋k的性质及二次函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象的关系．

教学过程

导入新课

【导语一】 二次函数y＝2x2的图象是__________，它的开口向__________，顶点坐标是__________；对称轴是__________，在对称轴的左侧，y随x的增大而__________，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________，当x＝__________时，取最__________值，其最__________值是__________．

【导语二】 二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

推进新课

一、合作探究

【问题1】 对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较)

【问题2】 你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象．

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．

3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较．

解：(1)列表：

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象．(图象略)

【问题3】 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0,1,2,3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1.

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1,3)和点(－1,2)、点(0,1)和点(0,0)、点(1,3)和点(1,2)的位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．

【问题4】 函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的．

【问题5】 现在你能回答前面导语二提出的问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0,0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0,1)．

【问题6】 你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？

完成填空：

当x__________时，函数值y随x的增大而减小；当x__________时，函数值y随x的增大而增大，当x__________时，函数取得最__________值，最__________值y＝__________.

【问题7】 先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－1与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－1与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2－1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移一个单位得到的．

【问题8】 你能说出函数y＝2x2－1的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗？

1．让学生口答，函数y＝2x2－1的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－1)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－1.

【问题9】 议一议：抛物线y＝ax2与y＝ax2±k(k＞0)有何联系？

(1)抛物线y＝ax2±k(k＞0)的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同．

(2)抛物线y＝ax2y＝ax2＋k；y＝ax2y＝ax2－k.

二、巩固提高

【例1】 抛物线y＝ax2＋k与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3)，则其表达式为__________，它是由抛物线y＝－5x2向__________平移__________个单位得到的．

分析：根据两抛物线的形状、大小相同，开口方向相同，可确定a的值，再根据顶点坐标(0,3)，可确定k的值，从而可判断平移方向．

解：抛物线y＝ax2＋k与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.

又∵其顶点坐标为(0,3)，∴k＝3.

∴y＝－5x2＋3是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的．

点拨：①解这类题，必须根据二次函数y＝ax2＋k的图象与性质来解，a确定抛物线的形状及开口方向，k确定顶点的位置；②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位．

【例2】 已知抛物线y＝ax2＋k向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.试求a，k的值．

分析：这里a，k值可利用抛物线的特征和平移规律来求出．

解：根据题意，知

解得

点拨：可根据规律直接求出a，k.

三、巩固提高

1．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是(　　)．

A．y＝2x2＋3　　　　 B．y＝2x2－3   C．y＝2(x＋3)2    D．y＝2(x－3)2

2．二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象经过点A(1，－1)，B(2,5)，则函数y＝ax2＋c的表达式为__________．若点C(－2，m)，D(n,7)也在函数的图象上，则点C的坐标为__________，点D的坐标为__________．

3．在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2.观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

本课小结

1．本节所学知识是函数y＝ax2＋k的图象与性质以及抛物线y＝ax2上下平移规律．函数y＝ax2＋k的图象与性质可类比函数y＝ax2的图象与性质学习．

2．所学的思想方法是图象法、数形结合的思想．