初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线教学设计

15.4　角的平分线

教学目标

【知识与技能】

1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.

2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.

【过程与方法】

1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.

2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.

【情感 、态度与价值观】

1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.

2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.

重点难点

【重点】

角平分线的性质定理及其逆定理.

【难点】

理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?

生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.

生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.

师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.

作法:

1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).

2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).

3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3).

师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”

由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况:

1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

已知:直线AB和AB上一点C,如图(1).

求作:AB的垂线,使它经过点C.

作法:

作平角ACB的平分线CF.

直线CF就是所求的垂线.

2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).

求作:AB的垂线,使它经过点C.

作示:

(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;

(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;

(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;

(4)作直线CF.

直线CF就是所求的垂线.

教师边操作边讲解:

用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?

学生操作.

师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?

生:是这个角的平分线.

师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?

生:一样长.

师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.

二、共同探究,获取新知

教师多媒体出示:

操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;

(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.

问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?

学生思考后回答.

问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:

　　(推证定理1)

问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:

　　问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.

(推证定理2)

三、练习新知,加深理解

师:下面我们接着来探讨上面的问题3.

教师多媒体出示:

(1)∵AD平分∠BAC,

DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)

∴DC=DE.(　　)

(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)

∴点D在∠BAC的平分线上.(　　)

学生思考后抢答,教师板书.

第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.

教师多媒体出示:

【例1】　已知:如图所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)

学生思考后交流讨论.

教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)

∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)

又∵AC=AC',(已知)

∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)

∴∠ABC=∠ABC'.

(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',

∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)

即∠BAC=∠ABC'.

∵BC⊥AC,BC'⊥AC',

∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)

【例2】　已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.

求证:AP平分∠BAC.

证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.

∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)

∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)

同理PN=PM.

∴PN=PQ.(等量代换)

∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

四、课堂小结

师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?

学生回答,教师点评.

教学反思

本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.