初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线教学设计及反思

16.4 角的平分线

[教学目标]

　　1、经历角平分线性质的发现过程，并通过将这一过程与线段垂直平分线性质的发现过程作对比，体会隐含其中的由“点”研究“线”的研究思想。

　　2、类比已学的“线段的垂直平分线”的知识结构和方法结构，通过探索和证明，建立“角的平分”一节的知识结构，并在探索和证明过程中，体会数学表述的严密性要求。

　　3、初步掌握角平分线的性质定理、逆定理以及用集合观点表述角平分线等知识，并能运用上述知识解决简单的几何问题。

[教学过程（实录）]

 一、复习旧知，引入课题

通过多媒体展示飞机（模型-纸飞机），让学生折飞机，并引导学生观察折痕得出本节课的课题——角的平分线.

二、创设情景，学习新知

角的平分线的画法：

在角AOB中，画角平分线

作法：

   1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N．

   2.分别以点M，N为圆心，以大于1／2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P

   3.作射线OP

则射线OP为角AOB的角平分线

 让学生自己在草稿纸上自己画，同桌相互检查，集体订正。

     师：上节课我们用一种探索的方法，对线段的垂直平分线作了较为深入的研究，今天我们要用类似的方法对角的平分线进行研究。

　　    板书：角的平分线

　　    请同学们先回忆一下，关于角的平分线我们已经学过的有关结论。

生(1)：  ∠AOC＝∠BOC；角是轴对称图形，对称轴是OC所在的直线。

师：    板书：已有知识：

若：OC是∠AOB的平分线

　　          则：①∠1＝∠2

②OC所在的直线是∠AOB的对称轴

　　    那么关于角的平分线，还有哪些其他结论呢？请大家以小组为单位进行合作探究。

  二、探究得出性质定理

师      下发课堂教学操作单1。（“操作单”见附一）

        课件显示课堂教学操作单1

生(众)：以小组为单位进行合作探究，并填写操作单1。 

师：    巡视，并适时介入讨论。

　　    下面我们把各组探究的成果一起来交流一下。先从研究方法说起。

生(2)：  在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA，PE⊥OB。此时可以得到PD＝PE

师：    板书：新的结论（猜）：

在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA，PE⊥OB，

垂足分别为D、E。则：PD＝PE。

会证明吗？

生(2) ： 会。学生叙述证明过程。

师：    这样我们就得到了一个新的结论（擦去“猜”字）。这就是角的平分线的性质定理。

板书：定理：

生(3)：  在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

师：    板书：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

大家对他们小组的研究方法和研究结果有什么不同看法，或者有补充意见吗？

生(众)：没有。

师：    我刚才看到有同学画角平分线的垂线的

生(4)： 是我，后来发现不对的，（投影显示图形）

这里是角平分线加垂线得等腰三角形，结论都是学过的，没有新的内容。

好，看来我们通过适当的研究，得到了一个大家信服的结果。但老师有几个不明白的地方想问大家。

问题1：在OC上任取一点，这一点包括点O吗？为什么？

生(5)：    不包括，因为点P在点O处时，垂线段画不出来，证明过程也无效。

生(6)：  包括的，点P在点O时，点P到OA、OB的距离都为零，相等，所以结论仍成立。

生(5)：  我说的是图画不出来，证明不对，结论是对的，但不能这样证明。

生(6)：  我想应该分点P与点O重合，不重合两种情况讨论。

师：    很好！我们可以肯定我们得出的定理没问题，至于证明大家想的比书上写的更好。

老师还有第二个问题：你怎么就想到在角平分上任取一点然后作角的两边的垂线段呢？为什么不想其他办法？

生(众)： 上一节也是这样的。

师：    上一节是线段的垂直线平分线，这一节是角的平分线。

生(7)：  反正是这种特殊的线。

师：    板书：先在特殊的线（研究对象）上任取一点。

那么又为什么要作角的边的垂线段呢？上一节不是和“点”联结得到两条线段再得到相等的吗？

生(8)：  角的边上除了顶点没有其他特殊点，只有垂线段才是唯一能确定的特殊线段。

师：    板书：再作出特殊线段（能唯一确定的），然后加以比较。

        好，我们来比较一下在探究线段垂直平分线的性质和角平分线性质时，我们所采用的研究方法（结合课件讲述）。

其实这是几何学研究的一种基本方法。

师：    通过刚才的讨论，我们已经感觉到“角的平分线”的问题与“线段的垂直平分线”的问题，有很多相似之处，从对称性、性质定理，到研究的方法都很相似。因此我们可以类比“线段的垂直平分线”一节的方法结构和知识结构来帮助我们得到“角的平分线”的其他知识。

下面请大家先独立思考，再小组讨论。

三、探究性质定理的逆定理

生（众）：思考、讨论。

师：    巡视，并适时介入讨论。

师：    下面我们再来交流一下各小组的研究成果。

生⑻：  我们先写出了逆命题，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（下边有议论）

师：    板书：逆命题：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

        那么这个逆命题正确吗？

生(9)：  正确的，我证明出来了。

        投影显示图形，并叙述证明过程。

生(10)   我们认为这个逆命题不正确，投影显示图形，并作叙述。

 图中看到点P在的角外部也行，但这点不在我们研究的范围内，即不在角的平分线上。

师：    从两位同学的分析中我们看到：当点P在角的内部时，点P一定在角的平分线上；当点P在角的外部时，点P则在角平分线的延长线上。此时我们大致可以有两种处理办法。一种是在条件部分直接限定点P“在角的内部”；另一种是在结论部分加上“或在角平分线的延长线上”。大家觉得应选那一种？

生(11)： 第一种。

师：    对，我们研究的是角的平分线，为了确保符合条件的点都落在角的平分线上，我们要加限定条件“在角的内部”。

        还有什么需要补充的吗？

生(12)：  我来补充：还要加“包括顶点”，因为“角的内部”不包括角的顶点，但角的顶点符合条件而且在角的平分线上，所以要补进去。

师：    非常好。

        将板书中的“命题”改为“定理”，并补上相应文字。

        那么有了这样一对互逆定理，我们又能得到什么结论呢？

生(13)。 角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。

师：    板书：集合观点：角的平分线可以看作是在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。

四、练习巩固

 师：   处理第135－136面的第1、2题。师巡视，并适时与学生交流。

附二：例1，已知：AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，

OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证：点O在∠C的平分线上

生(众)： 尝试解例题。

师：    巡视，并请生(14)作分析。

生(14)： 投影显示图形，并叙述证明过程。

师：    下面我将条件中的“OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E。”去掉，你还会证吗？

[课件显示修改的文字和图形]

生(15)： 那就，添“这二条”线作为辅助线，证明方法一样。

师：    从刚才的证明我们发现三角形的三条内角平分线一定如何？

生(众)： 一定相交于一点。

师：   当其中两条内角平分线改为两条外角平分线时又如何？

[课件显示新图]，并作说明　

    五、课堂小结

课堂教学操作单1

复习已学知识：

若：OC是∠AOB的平分线

　　　　则：①∠1＝∠2

②OC所在的直线是∠AOB的对称轴

探索新的知识：