沪科版八年级上册12.1 函数教案

12.1　函　数

第1课时　函　数(一)

教学目标

【知识与技能】

1.掌握常量、变量的概念.

2.能辨别一个关系中的常量和变量、自变量和因变量.

3.能识别一个关系式是不是函数.

【过程与方法】

1.经历观察、分析、思考、总结的过程,发展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力.

2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用.

3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式,使学生将实际问题和数学相联系.

【情感、态度与价值观】

1.通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来,培养学生的集体意识.

2.让学生自己思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.

3.让学生感受数学与生活息息相关.

4.通过变量、常量概念的引入,让学生意识到数学是在不断发展的,意识到事物是不断发展变化的.

重点难点

【重点】

理解常量、变量的概念,判断一个数量关系是否是函数.

【难点】

理解函数的概念.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:你还记得汽车在匀速行驶时,路程和速度、时间之间的关系吗?

生:记得,路程=速度×时间.

师:好.我们现在来看这样一个问题.

教师多媒体出示(问题1):汽车以50千米/时的速度匀速行驶,它行驶的路程用s表示,时间用t表示,根据刚才那个公式,你能得到s和t的什么数量关系?

生:s=50t.

师:对.这里面有哪些量?

生:路程、速度和时间.

师:这道题中,速度是具体的一个量,是多少呢?

生:50.

师:对.这里面有三个量:路程、50和时间.

二、合作探究,获取新知

教师多媒体出示(问题2):

同学们看这个图和相应的表格,上面反映的有几个量?

学生思考后回答:两个.

师:哪两个?

生甲:时间.

生乙:气球上升到达的海拔高度.

师:同学们回答得很好!你们再观察一下,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米?

生:30米.

师:你能计算出当t=3min和t=6min时热气球到达的海拔高度吗?

生:能,3分钟时为1 890米,6分钟时为1 980米.

师:很好.

教师多媒体出示(问题3):

师:在这个问题中,有哪几个量?

生:两个,时间和负荷.

师:你能说出这一天中任意一个时刻的负荷是多少吗?如果能的话,4.5h时和20h时的负荷分别是多少?

学生测量后回答:能.4.5h时是10×103兆瓦,20h时是17×103兆瓦.

师:用科学记数法怎样表示?

生:4.5h时是1.0×104兆瓦,20h时是1.7×104兆瓦.

师:同学们回答得很好!你们是怎么找到对应的数据的呢?

生:根据时间对应的负荷得到的.

师:很好!这一天的用电高峰和用电低谷时的负荷分别是多少?它们各是在什么时刻达到的?

学生测量后回答:用电高峰时的负荷是1.8×104兆瓦,在13.5h时达到;用电低谷时的负荷是1.0×104兆瓦,在4.5h时达到.

师:我们再来看这样一个例子.

教师多媒体出示(问题4):

汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式:

s=

这个式子中涉及了哪几个量?

生甲:刹车距离、车速.

生乙:256.

师:当车速为60km/h时的刹车距离是多少呢?结果保留一位小数.

学生计算后回答:14.1km.

师:在第一个问题中,速度一直是50千米/时,我们把不变的50称为常量;变化的s和t称为变量,其中t是自变量,s是随着时间t的变化而变化的,s是因变量.下面我们看看其他三个问题中,哪些是常量,哪些是自变量,哪些是因变量?

生甲:第二个问题中,30是常量,时间是自变量,海拔高度是因变量.

生乙:第三个问题中,没有常量,时间是自变量,负荷是因变量.

生丙:第四个问题中,256是常量,车速是自变量,刹车距离是因变量.

师:很好!自变量和因变量之间有没有对应的关系呢?

生:有.

师:由前面的探究,我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系?

生:自变量取一个值,根据它们之间的关系,因变量就有相应的一个值.

师:很好!

教师板书并口述定义:

一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称x是自变量,y是x函数.

师:在这个定义中,我们要注意“唯一确定”这四个字,“唯一”要求只有一个,“确定”要求它们的关系是确定的,不能是未明确的、模糊的.根据函数的定义,你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?

生甲;问题1中行驶路程s是行驶时间t的函数.

生乙:问题2中热气球到达的海拔高度h是时间t的函数.

生丙:问题3中负荷y是时间t的函数.

生丁:问题4中刹车距离s是车速v的函数.

师:大家回答得很好!

三、练习新知

师:我们现在来看这样一个例子.

教师多媒体出示并口述:

下列等式中,y是x的函数的有　　　　. 

①x+y=0;②y=;③y=x2;④x=y2;⑤y=|x|;⑥ x=|y|;⑦y=;⑧y2=4x.

学生思考后回答,然后集体订正.

y是x的函数的有①②③⑤⑦.

四、课堂小结

师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?

生:学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.

教师补充完善.

教学反思

课程改革的关键是教师观念的改变,重视学生的主体作用,强调让学生经历学习的过程,让学生真正成为学习的主人.教师不应该仅仅是课程的实施者,而且应该成为课程的创造者和开发者.通过让学生回顾小学学过的一个公式,引入本节课,同时带领学生更深入地认识两个量之间的关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念.而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢?对自变量取的一个值,因变量有唯一确定的值与之对应.这点要向学生讲清楚,学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数.

第2课时　函　数(二)

教学目标

【知识与技能】

1.会用列表法表示函数.

2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数.

3.会求函数自变量的取值范围.

4.给定自变量,能求出函数值.

【过程与方法】

1.经历用列表法和解析法表示函数的过程.

2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系.

【情感、态度与价值观】

1.通过让学生选用合适的方法表示两个变量之间的关系,让学生发挥主观能动性,独立思考.

2.让学生参与到教学活动中来,激发学生的参与感和集体意识.

3.让学生观察、描述发现的问题,培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力.

4.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.

重点难点

【重点】

用解析法表示函数,求函数自变量的取值范围.

【难点】

建立一个实际问题的数学模型.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:上节课,我们学习了一个重要的概念——函数,同学们还记得它的内容吗?

学生回答.

师:大家说得很好,函数是一个重要的数学概念,这节课我们将更深入地研究它.

二、合作探究,获取新知

教师多媒体出示上节课的问题2:

上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系,这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.

学生熟记.

教师多媒体出示上节课的问题4.

这是另一种表示函数的方法,是用s和v之间的函数关系式来表示的,这种用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.你从中读出了什么信息?你能把问题2中表格反映的情况用语言叙述一下吗?

学生思考后回答:能.热气球的初始海拔高度是1 800米,每分钟上升30米.

师:很好!它是匀速上升的吗?

生:是.

教师多媒体出示上节课中的问题1.

你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间t之间的关系吗?注意:这里h是初始高度和上升高度的和,上升高度相当于热气球上升的路程.

学生思考后回答:能.h=1 800+30t.

师:很好!一般地,我们按自变量的降幂排列,就是写成h=30t+1 800.这说明同样一个问题,它的描述方式可以不止一种,我们可以选用适当的方式来表示,也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写.

教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:

一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.

师:同学们,这里要求在自变量的允许范围内,就是说自变量是有范围的,在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制?

生:分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零.

师:对.所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量的取值范围.在实际应用中,除了要保证这个式子有意义,还要求它有实际意义.

三、练习新知

教师多媒体出示:

【例1】　求下列函数中自变量x的取值范围:

(1)y=2x+4;　　　　(2)y=-2x2;

(3)y=; (4)y=.

解:(1)x为全实体实数.

(2)x为全实体实数.

(3)x≠2.

(4)x≥3.

【例2】　当x=3时,求下列函数的函数值:

(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;

(3)y=; (4)y=.

解:(1)当x=3时,y=2x+4=2×3+4=10.

(2)当x=3时,y=-2x2=-2×32=-18.

(3)当x=3时,y===1.

(4)当x=3时,y===0.

【例3】　一个游泳池内有水300m3,现打开排水管以每小时25m3的排出量排水.

(1)写出游泳池内剩余水量Qm3与排水时间th间的函数关系式;

(2)写出自变量t的取值范围;

(3)开始排水后的第5h末,游泳池中还有多少水?

(4)当游泳池中还剩150m3时,已经排水多少小时?

解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间t的函数,有Q=300-25t=-25t+300.

(2)由于池中共有300m3水,每小时排25m3,全部排完只需300÷25=12(h),故自变量t的取值范围是0≤t≤12.

(3)当t=5时,代入上式,得Q=-5×25+300=175(m3),即第5h末,池中还有水175m3.

(4)当Q=150时,由150=-25t+300,得t=6(h),池中还剩水150m3时,已经排水6小时.

四、课堂小结

师:今天你学习了什么新的内容?

生:学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值.

教师补充完善.

教学反思

本节课通过让学生回顾上节课的两个例子,向学生介绍函数的两种表示方法:列表法和解析法.在解析法中强调了不是所有函数的自变量都可以取全体实数,特别是在应用题中,要考虑自变量的取值范围.还学习了已知自变量的一个值求相应的函数值.需要注意的是自变量取值范围的限制主要有分母不能为零和开平方时被开方数不能为负两种情况,有时两种情况会同时出现,这两个条件都要满足.教学设计中,始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动,给学生提供足够的、自主的空间和活动机会,让学生动手、动脑进行探索.

第3课时　函　数(三)

教学目标

【知识与技能】

1.会用图象法表示函数.

2.知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线.

【过程与方法】

经历用图象法表示函数的过程,提高作图能力.

【情感、态度与价值观】

1.通过将函数用图象表示出来,将数和形结合起来,使本章内容和上一章的内容也结合起来,让学生体会到数形结合思想和上一章知识的关联及数学知识环环相扣的特点.

2.将函数用图象表示出来,使函数显得更生动形象,使学生易于接受.

重点难点

【重点】

用图象法表示函数.

【难点】

理解几个点的连接与函数图象之间的关系.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:我们上一节课学习了函数的两种表示法,你们还记得是什么吗?

生:记得,是列表法、解析法.

师:对.但有些函数关系很难写出它们的函数关系式,而数据又多,用列表法显得繁琐又不够形象,因此我们用图象来表示.本节课我们就来探究一种表示函数的方法——图象法.

二、合作探究,获取新知

师:我们用图象法除了可以表示列表法和解析法不能表示的函数关系外,还能表示出它们能表示的、不太复杂的函数关系.比如这样一个解析式y=2x,我们现在用图象把它表示出来.请大家先填写下表.

教师多媒体出示:

　　学生填表.

师:我们在上一章讲过,有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,且学习了已知点的坐标以及怎样把它在坐标平面上描出来,现在请大家在方格纸上描出这些点.

学生描点.

师:请同学们观察这些点,它们是怎样分布的呢?

生:大致在一条直线上.

师:很好,大家的观察能力很强!我们现在把它们连接起来,用直线还是线段呢?

生:直线.

师:为什么?

学生思考.

师:我提示一下,从自变量的取值范围去考虑.

生:自变量x的取值范围是全体实数,直线两端是无限延伸的,代表没有表示出来的还有很多点.

师:大家非常棒!

教师边操作边讲:

我现在用一条直线把这些点连接起来.

教师板书作图的过程:

师:现在我们画出了函数y=2x的图象.大家注意到没有?我们用几步完成了这个过程?

生:三步.

师:哪三步?同学们能不能把每步用两个字概括一下?

生:列表、描点、连线.

师:大家说得很好!描出的点越多,图象越精确,但一般我们只选取一部分点.现在我们作的图自变量取值范围是全体实数时,一般在原点左右各选取两三个点,加上原点,用这几个点来画图.

三、例题讲解

【例1】　画出函数s=的图象.

(1)列表:因为这里v≥0,我们分别取v=0、10、20、30、40,求出它们对应的s值,列成表格:

　　(2)描点:在坐标平面内描出(0,0),(10,0.4),(20,1.6),(30,3.5),(40,6.3)等点.

(3)连线:将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接,就得到了s=的图象,如图所示.

【例2】　已知某弹簧的自然长度为5cm,已知它所挂物体的质量每增加1kg,弹簧就伸长0.25cm,设所挂重物的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,允许挂重物不超过10kg,求y关于x的函数表达式,并画出图象.

教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

教师多媒体出示:

y关于x的函数为:y=0.25x+5,0≤x≤10.图象为:

四、练习新知

如图,下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数?你能说出其中的道理吗?

学生思考,讨论.

生甲:(1)不是.

生乙:(1)是.

师问生甲:(1)为什么不是函数?

生甲:(1)在x>0时没有图象.

师:没有图象表示此函数在x>0的范围内没有定义.而y是x的函数要求对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,就是说我们只看它有定义的部分.

生甲:哦,那么(1)是函数.

师:(2)是函数吗?

生:是.

师:(3)呢?

生:……

师:从函数的定义出发考虑.

生:不是.

师:为什么?

生:除了x轴上的两点,自变量取值范围内的其他的每一个x值都有两个y与它对应.

师:你回答得很好!(4)呢?这个图象对应的是不是函数?

生:不是.

师:为什么?

生:有一些x值有2个甚至更多个y值与它对应.

师:你回答得很好!

五、课堂小结

师:今天你学习了什么新的内容?

生:学习了函数表示法中的图象法、函数图象的画法.

师:画函数图象的步骤是什么?

生:列表、描点、连线.

教学反思

本节课通过让学生回顾本章第一节表示函数的另一种方法——图象法,还向学生介绍了这种表示方法的优点,并示范了作函数图象的过程,指出了图象法的三个步骤:列表、描点、连线,让学生掌握了表示函数关系的又一工具.在列表时要考虑到自变量的取值范围,在刻度的选取时要具体问题具体分析,有的起始值较大且变化量小时,前面一部分用折线表示;当x、y只取正值时就不画x轴及y轴的负半轴.

第4课时　函　数(四)

教学目标

【知识与技能】

能读出函数图象里的信息,会分析图象信息.

【过程与方法】

1.经历观察函数图象,读出图中信息,提高阅读和提取信息的能力.

2.体会和学习数形结合的数学思想.

【情感、态度与价值观】

1.通过让学生读出函数图象的信息,把数和形结合起来,将图象“说出来”,让学生体会到了数形结合思想.

2.通过“翻译”图象的过程,让学生体验了坐标系的用途和数学的重要性,提高学生学习的主动性.

重点难点

【重点】

读出图象里的信息

【难点】

分析函数图象中的信息.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:在上节课中,我们学习了函数图象的画法,你还记得有哪几个步骤吗?

生:记得.列表、描点、连线.

师:很好!如果给出了函数的图象,我们也要能读出其中的信息.

二、合作探究,获取新知

教师多媒体出示教材思考题中的图:

师:图中有哪两个变量?

生:时间和体温.

师:哪个是自变量?哪个是因变量?

生:时间是自变量,体温是因变量.

师:在这一天中此人的最高体温是多少?最低体温是多少?分别是在什么时刻达到的?

学生用刻度尺测量后回答.

生甲:最高体温是36.8℃,在18h时达到.

生乙:最低体温是35.9℃,在4h时达到.

教师多媒体课件出示课本上的几个练习题并找学生回答,共同纠正.

三、举例探讨,深化理解

教师多媒体出示:

一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输,只行驶一个来回,中间停靠丙港,下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化而变化的曲线.

学生观察图象.

师:轮船从甲港(O点)出发到达丙港(A点)用了多长时间?

生:1个小时.

师:从丙港(A点)到达乙港(C点)用了多长时间?

生:2个小时.

师:你们还能读出其他的信息吗?

生甲:轮船在乙港停留了1个小时.

生乙:轮船从乙港到丙港用了4个小时.

生丙:轮船从丙港到甲港用了2个小时.

师:很好!

教师多媒体出示:

(1)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快,还是轮船返回时的平均速度快吗?

(2)如果轮船往返的速度是一样的,那么从甲港到乙港是顺水还是逆水?

师:你是怎样做第一个小题的?

生:因为往返轮船行驶的路程相同,所以只要比较去和返回时用的时间长短就行了.

师:往返的时间哪个长哪个短呢?

生:从甲港到乙港用了3个小时,从乙港到甲港用了6个小时,去时用的时间短,回来时用的时间长.

师:很好!由此你能得到什么结论?

生:说明去的时候速度快.

师:很好!现在请同学们看第二个问题.

学生看思考.

生:从甲港到乙港是顺水.

师:你怎么得到的呢?

生:因为由上题知从甲港到乙港时速度更快.

四、课堂小结

师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?

学生回答.

师:你还有哪些疑问?

学生提问,教师解答.

教学反思

在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,例如文字和图象.本节课我带领学生去读信息,获取、分析图象上的信息.在第一个例题的讲解中,我向学生提出问题,引导他们去看图;在第二个问题中,我在提出两个问题后,让学生自己去说说看到了什么,让学生自己去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼他们的分析能力和语言表达能力.