初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课时训练

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1. 已知一元二次方程 2x2-5x+1=0 的两个根为 x1,x2,下列结论正确的是( ) A.x1+x2=-5 B.x1·x2=1

C.x1,x2 都是有理数 D.x1,x2 都是正数

2. 若关于 x 的一元二次方程 x2+(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数,则 a 的值为( )

A.2 B.0 C.1 D.2 或 0

3.(2018·贵州遵义中考)已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+bx-3=0 的两根,且满足 x1+x2-3x1x2=5,则 b 的值为(              )

A.4 B.-4 C.3 D.-3

4. 若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个实数根分别为 1 和 2,则

b=        ,c=        .

5. 已知方程 2x2+3x-1=0 的两个根为 x1,x2,则 1  + 1 的值等于 .

�  1      � 2               

6. 若关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-3=0 的两个实数根为 x1,x2,且满足 x1=3x2,试求出该方程的两个实数根及 k 的值.

7. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx-1=0 的一个根是 2-1,求其另一个根及 m 的值.

8. 已知 m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2-2tx+t2-2t+4=0 的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是( )

A.7 B.11 C.12 D.16

9.已知一元二次方程 x2+3x-4=0 的两根为 x1,x2,则� 2+x1x2+� 2=      .

1 2

10.已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x-k2=0(k 为常数).

(1) 求证:此方程有两个不相等的实数根;

(2) 设 x1,x2 为方程的两个不相等的实数根,且 x1+2x2=14,试求出方程的两个实数根和 k 的值.

★11.若实数 x1,x2 满足� 2-3x1+1=0,� 2-3x2+1=0,求� 2 + � 1的值.

1 2 � 1 � 2

★12.已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+(2m+1)=0 有实数根.

(1) 求 m 的取值范围;

(2) 如果方程的两个实数根为 x1,x2,且 2x1x2+x1+x2≥20,求 m 的取值范围.

参考答案

夯基达标

1.D 根据题意得 x1+x2=5>0,x1x2=1>0,所以 x1>0,x2>0,又 x=5± 17,故C 选项错误,故选 D.

2 2 4

2.B 设方程的两根为 x1,x2,根据题意得 x1+x2=0,所以 a2-2a=0,解得 a=0 或 a=2. 当 a=2 时,方程化为 x2+1=0,Δ=-4<0,故 a=2 舍去,所以 a 的值为 0.故选 B. 3.A              4.-3              2              5.3

6. 解 由根与系数的关系,得 � 1 + � 2 = 4,

� 1·� 2 = � -3.

∵x1=3x2,

∴3x2+x2=4.

∴x2=1.∴x1=3.

∴k-3=3×1.

∴k=6.

故原方程的两个实数根为 x1=3,x2=1,k=6.

7. 解 设方程的一个根为 x =  2-1,另一个根为 x ,由根与系数的关系,得 2-1 + � 2 = -� ,解得

1 2

� 2 = - 2-1,

� = 2.

( 2-1)·� 2 = -1,

故另一个根为- 2-1,m 的值为 2.

培优促能

8.D ∵m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2-2tx+t2-2t+4=0 的两实数根,

∴m+n=2t,mn=t2-2t+4,

∴(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=t2+2t+8=(t+1)2+7.

∵方程有两个实数根,

∴Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-16≥0,

∴t≥2,

∴(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16.故选 D.

9.13 ∵x1+x2=-3,x1·x2=-4,

∴� 2+x1x2+� 2=(x1+x2)2-x1x2=9+4=13.

1 2

10.(1)证明 b2-4ac=(-6)2-4×1×(-k2)=36+4k2>0,因此方程有两个不相等的实数根.

(2) 解 x1+x2=-� =--6=6,

� 1

又 x1+2x2=14,解方程组 � 1 + � 2 = 6,

� 1 + 2� 2 = 14,

可 得 � 1 = -2,

� 2 = 8.

(方法 1)将 x1=-2 代入原方程,得(-2)2-6×(-2)-k2=0,解得 k=±4.

(方法 2)将 x 和 x 代入 x x =� ,得 -� 2 解得 k=±4.

� 1

11.解 当 x1≠x2 时,x1,x2 是方程 x2-3x+1=0 的两根,有 x1+x2=3,x1x2=1.

� � �2 +� 2

(� +�

)2-

32-2×1

故 2  +   1  =  2 1 = 2 1 =

=7.

�1 � 2

� 1� 2

  2� 1� 2           

� 1� 2 1

当 x1=x2 时,原式=1+1=2. 综上,原式的值是 7 或 2. 创新应用

12.解 (1)∵方程 x2-6x+(2m+1)=0 有实数根,

∴Δ=(-6)2-4(2m+1)≥0,

化简得 32-8m≥0,解不等式得 m≤4.

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得 x1+x2=6,x1x2=2m+1.

∵2x1x2+x1+x2≥20,

∴2(2m+1)+6≥20,解不等式得 m≥3,

由(1)得 m≤4,

∴m 的取值范围是 3≤m≤4.