初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.3 整式教学设计

第三章 整式及其加减 3　整式

教学重点与难点

教学重点：单项式，多项式，整式，单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念．

教学难点：对整式有关概念的理解．

学情分析

认知基础：学生已经学习了字母表示数，在学习同类项的知识时，已经初步接触到单项式、多项式的概念(当时没有出现这两个概念的名称)及单项式的系数，初步理解了代数式的意义、代数式的书写，具备了用字母表示数量关系(即列代数式)的技能及初步识别单项式、多项式的经验，这是进一步学习整式有关概念的基础．

活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经通过列代数式解决了一些简单的现实问题，经历了实际问题“符号化”的过程，感受到了代数式作为数学表示的工具的必要性和作用，初步发展了符号感.

教学目标

1．通过用字母表示数量关系，在现实情境中进一步理解字母表示数的意义，发展符号感．

2．了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数．

3．进一步发展观察、归纳、分类等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．

教学方法

本节属于概念教学课，力图讲授与自主探索相结合的教学方法体现概念形成的过程，即首先给学生以感性材料，让他们观察、比较、分析，找出材料中个体的共同特点，最后进行归纳、抽象概括．最后通过课上练习的方法来巩固所学知识．

一、创设情境，引入新课

设计说明

在做一做中所提供的一系列问题情境，要求学生列出代数式，并试着将代数式分成两类．让学生在了解整式的实际背景时，进一步理解字母表示数的意义，认识代数式的表示作用，既巩固了旧知识，又可以借此引出单项式、多项式及整式的概念．

做一做：

1．一个三角尺如图1所示，阴影部分所占的面积是__________．

图1

2．某校学生总数为x，其中男生人数占总数的，男生人数为________．

3．一个长方体的底面是边长为a的正方形，高为h，体积是_____________．

4．小明房间的窗户如图2所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同)．

图2

(1)装饰物所占的面积是多少？

(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？(窗框面积忽略不计)

教学说明

在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数、代数式等内容，在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，深刻感受到代数式的表示作用．在这一环节中，建议采用多种评价方式，如小组讨论、小组抢答、学生讲解等，虽然是在复习旧知识，但学生之间能互相补充、互相纠正，气氛热烈，复习效果较好，同时为下一环节的学习打好了知识、情感、态度的基础．另外，教师应结合学生列代数式中出现的问题强化代数式的书写格式．例如，数字与字母相乘时应数字在前，字母在后，在做一做4(1)中代数式要写成b2，为定义单项式的系数作好铺垫．

二、师生互动，探索新知

设计说明

本节课的概念比较多，采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度．设计层次分明的问题串引导学生认识单项式和多项式，避免分类无方向．在实际教学中，要结合学生掌握情况，给学生足够的时间和空间，运用让学生举例、教师举例的方式帮助理解概念、解决易错点．

问题1：像x，a2h，b2等这样的代数式都是单项式，分析它们有什么共同特点？如何确定单项式的系数和次数？请多举几例进行分析说明．

结论：表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式．如单独的一个字母a，我们可以看成1×a，所以a 是单项式；数字5也是单项式，我们学过的所有有理数都是单项式．

其中，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．如上述单项式中的，1，分别是它们的系数．

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．特别的，单独一个非零数的次数是0.如上述单项式的次数分别是1、2＋1＝3、2.

问题2：像x2y＋2y－1，ab－mn，ab－b2，它们是什么样的式子？它们和单项式有什么关系？试举例分析说明．

结论：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式都是这个多项式的项；多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．如多项式x2y＋2y－1有三项，分别是x2y,2y，－1，其中x2y这一项在x2y＋2y－1中次数最高，因此我们把x2y的次数3作为多项式x2y＋2y－1的次数，即x2y＋2y－1是一个三次三项式．

问题3：单项式和多项式统称整式．结合单项式和多项式的概念讨论分析，是整式吗？

结论：在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算. 表示数字与字母x的乘积，是一个单项式，所以是整式．而是数字2与字母x的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特点是字母不能作分母．

教学说明

实际教学中学生对整式的概念及单项式的次数把握较好，但对单项式的系数、多项式的项、多项式各项的系数的理解容易出错，对多项式的次数把握不好．容易出错处主要体现在：1.系数中出现负号的容易漏掉符号；2.将系数π看作是字母；3.书写时省略掉的系数1和字母指数1易误认为是0；4.分析多项式的每项时易忽视性质符号．针对以上几个问题，教师要引导学生结合概念及有关规定分析澄清疑问．求多项式的次数有赖于单项式的次数，然后再将各项的次数求最高值．为了讲清这一概念，建议加强举例说明，同时强化对多项式每一项、单项式的次数、多项式的次数的理解．

三、变式训练，熟练技能

设计说明

对本节知识进行巩固练习．

1．下列整式哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？

a，－x2y,2x－1，x2＋xy＋y2,7h，xy3＋1,2ab＋6，x－by3,2πr，－3.

2．小红和小兰房间窗户的装饰物如图3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径分别相同)．

(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？(窗框面积忽略不计)哪个房间的采光效果好？

(2)上面的整式是单项式还是多项式？它们的次数分别是多少？

图3

3．当堂测试：

(1)x的2倍与y的平方的的和，用代数式表示为________，它是________(填“单项式”或“多项式”)；

(2)单项式－4ab2,3ab，－b2的和是________，它是________次________项式；

(3)a－5a2b3＋3ab－1是________次________项式，最高次项是________，最高次项的系数是________，常数项是________；

(4)若单项式－x3ym是六次单项式，则m＝_______；若单项式－x3ynz是六次单项式，则n＝_______.

“当堂测试”答案：

(1)2x＋y2　多项式　(2)－4ab2＋3ab－b2　三　三

(3)五　四　－5a2b3　－5　－1　(4)3　2

教学说明

第1题是直接针对本节知识点的巩固练习，采用小组讨论、班内竞赛的形式，有上一环节作基础，学生们答题很主动，也很顺利．第2题比教材中的议一议增加了一问“哪个房间的采光效果好？”这样设计的目的是使学生深刻地体会代数式的表示作用，培养学生思维的深度和广度，并在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．

前面的题目虽然留给了学生独立思考的时间，但之后多采用小组讨论、师生讲解等形式及时得到了反馈，所以在本环节中设计第3题测试，目的是想真正了解每一位学生对本节知识掌握的程度及独立完成的情况，以便使出现的问题能够及时得到反馈和纠正．

四、迁移应用，深化提高

设计说明

利用变式的有梯度、循序渐进的拓展练习，加强对概念的理解和应用．

1．下列代数式：，x2＋x－，，＋1，其中是整式的有(　　)

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

2．单项式－xa＋bya－1与3x2y的次数相同，则a－b的值为(　　)

A．2      B．0      C．－2      D．1

3．已知－a3n－1b2n＋3是六次单项式，求n的值．

4．已知100x2n－1－x2n＋1＋是关于x 的五次三项式，求n的值．

5．写出系数是1，次数是6，含且只含a，b两个字母的所有的单项式．

(注：第3、4、5题均选自《国际奥林匹克竞赛标准教材初一数学》一书．)

答案：1．C　2．A

3．解：因为－a3n－1b2n＋3是六次单项式，所以根据单项式的次数定义，有3n－1＋2n＋3＝6.

所以5n＋2＝6.所以n＝.

4．解：因为100x2n－1－x2n＋1＋是关于x的五次三项式，

又2n＋1＞2n－1，所以2n＋1＝5，所以n＝2.

5．解：因为单项式的次数是6，所以a，b的指数应分别是1,5；2,4；3,3三种情况．

所以满足条件的单项式为：ab5，a5b，a2b4，a4b2，a3b3.

教学说明

练习1加强对整式概念的识别，明确整式最显著的特征是字母不能作分母．练习2、练习3和练习4是已知单项式或多项式的次数，通过分析字母指数与整式次数的关系，列方程解决问题．练习5是已知一个单项式的次数，写出含有两个字母的符合规定次数要求的单项式，这里要注意两个字母指数和是6不止一种情况，为避免遗漏，应按一定顺序分析后再写出答案．后三个练习对学生的逆向思维和综合分析问题的能力提出了挑战，建议留给学生足够的时间进行交流反思．

五、积累与总结

1．知识点梳理

(1)表示数与字母的积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式．一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，单独一个非零数的次数是0.

(2)几个单项式的和叫做多项式．在一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．

(3)单项式和多项式统称为整式．

2．方法、技巧与规律小结

本节课主要学习了单项式、多项式、整式的概念及单项式、多项式的次数及系数的概念．在列代数式的基础上自己推导并归纳各个概念的特征，加深对概念的理解，既为以后学习整式的运算奠定了基础，也锻炼了自己解决问题的能力．

3．注意事项

(1)对整式的理解不准确，如将＋1误认为整式．整式最显著的特征是字母不能作分母．

(2)单项式的系数和次数，如2πr的系数误认为是2，把π这个特殊常数误认为是字母，所以次数就错误地认为是2．

(3)多项式的项易漏掉性质符号，常数项或单独一个非零数的次数应为0.如多项式2x－1的项分别是2x，－1，其中－1是0次单项式．

评价与反思

1．利用丰富的情境，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，在现实情境中进一步理解字母表示数的意义，发展符号感，并在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．在此基础上注重概念的引入和抽象概括过程，通过比较、分析、归纳，进一步概括抽象出本质．本节课涉及的概念比较多，它们之间既有联系又有区别．在进行概念教学时，通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，从而抽象概括出概念，有利于培养学生观察、分析抽象等思维能力．利用有梯度、循序渐进的巩固练习，在学生真正了解概念的基础上，准确迅速地确定单项式的系数、次数，多项式的项数、次数，从而发展学生观察、归纳、分类等能力，培养学生分析问题、解决问题的能力．

2．在教学过程中，对各概念的掌握程度不仅要关注记忆和使用的熟练程度，更重要的是要关注对概念的理解和在新情境中的应用，关注在解决问题过程中分析问题的角度和方法，关注学生学习过程中的反思和交流，让学生在应用中理解，在反思中强化，从而较大程度地减少总结中出现的各种错误．