初中数学北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.3 整式学案

用字母表示数及整式（基础）知识讲解

【学习目标】

1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；

2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；

3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；

4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．

【要点梳理】

要点一、字母表示数

用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．

要点二、代数式

1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．

要点诠释：

带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．

2.列代数式：

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．

要点诠释：代数式的书写规范：

（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；

（2）除法运算一般以分数的形式表示；

（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；

（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；

（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．

3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．

要点三、整式

1.单项式

（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：

①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．

②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．

③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．

④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．

2．多项式

(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．

(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点诠释：

①多项式的每一项包括它前面的符号．

②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．

(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点诠释：

①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为

-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．

要点诠释：

①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；

②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．

3.整式：单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：

（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．

【典型例题】

类型一、字母表示数 

1．填空：

（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是      ；

（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是         ；

（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．

【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；

（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．

【答案】（1）-a； （2）（4a+4)cm（或4（a+1）cm）；  （3）(2n+500).

【解析】

解：（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a；

（2）这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的边长为(a+1) cm，所以周长为4（a+1）cm，也即（4a+4)cm；

（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．

【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.

类型二、代数式

2．（2020春•定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（　　）

A．a+3    B．mn2    C．    D．x＞y

【思路点拨】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“=”、“≠”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可．

【答案】D．

【解析】

解：A、是代数式，故本选项错误；

B、是代数式，故本选项错误；

C、是代数式，故本选项错误；

D、不是代数式，故本选项正确；

故选D．

【总结升华】本题考查了代数式的知识，注意将代数式与等式及不等式区分开来．

举一反三：

【变式1】

（1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为             .

（2） 操作电脑时，甲4小时打x个字，乙3小时打y个字，甲乙两人每小时共打        个字．

【答案】（1）  （2）（）

【变式2】

（2020•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（　　）

　 A．（a+b）元 B． 3（a+b）元 C． （3a+b）元 D． （a+3b）元

【答案】D．

类型三、整式

3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

    ，，，，，a-3，，，

【答案与解析】

解：，，，，，，是单项式，其中

     的系数是，次数是3；

的系数是-1，次数是1；

的系数是，次数是4；

的系数是，次数是4；

为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；

的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；

只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．

【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．

举一反三：

【变式1】单项式3x2y3的系数是　　．

【答案】3．

【变式2】（泰州）下列结论正确的是(  )．

    A．没有加减运算的代数式叫做单项式．

    B．单项式的系数是3，次数是2．

C．单项式m既没有系数，也没有次数．

D．单项式的系数是-1，次数是4．

【答案】D

4. （2020秋•三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？

（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1

（2）10x+y3﹣0.5．

【答案与解析】

解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1

是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，

最高次项的系数是﹣3，

常数项是1；

（2）10x+y3﹣0.5，

是三次三项式，最高次项是y3，

最高次项的系数是1，

常数项是﹣0.5．

【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．

举一反三：

【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？

, ,，abc， ， ，a+1， ， ， ．

【答案】

解：多项式有：，，a+1，，．其中，

是一次二项式；是二次二项式；a+1是一次二项式；是一次二项式；是二次三项式．