高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时导学案，共14页。
第2课时　单调性与最值
学习目标　1.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．

知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数
余弦函数
图象


定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

思考　正弦、余弦函数在定义域上是单调函数，正弦函数在第一象限是增函数，这些说法对吗？
答案　正弦、余弦函数不是定义域上的单调函数．因为正弦、余弦函数有递增和递减区间，“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调递增区间上，y＝sin x都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．

1．函数y＝2cos x＋1的值域为________．
答案　[－1,3]
2．函数y＝sin x取最大值时x＝________.
答案　＋2kπ，k∈Z
3．函数y＝sin x的值域为________．
答案　[0,1]
4．函数y＝－cos x的单调递减区间是________________；单调递增区间是________________．
答案　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

一、求正弦函数、余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调区间．
解　令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
解　由例题知f(x)＝2sin的单调递增区间为，k∈Z，
又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为.
2．求函数y＝sin的单调递增区间．
解　y＝sin＝－sin，
令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.
(学生留)
反思感悟　求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1　(1)函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为________．
答案　，
解析　y＝sin＝－sin，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π，
∴原函数的单调递减区间为，.
(2)求函数y＝2cos的单调区间．
解　令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为(k∈Z)．
∴函数y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)．
二、比较三角函数值的大小
例2　比较下列各组数的大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)cos 与cos ；
(3)sin与cos.
解　(1)因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减，且90°