初中9.4 矩形、菱形、正方形教案

9.4矩形、菱形、正方形——矩形的性质、判定

一、概念：

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（矩形也叫长方形）

2．矩形的性质：

（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质

（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分.）

（2）矩形的特殊性质：

     ①矩形是轴对称图形；        ②矩形的四个角都是直角，对角线相等.

3．矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(定义)

（2）三个角是直角的四边形是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形是矩形.

(归纳：证明四边形是矩形的方法有（1）三个角是直角（2）先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角或者对角线相等)

二、 例题讲解

例1．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4 cm，∠AOB=60°求对角线AC的长.

例2．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB.

求证：△AOB是等边三角形.

例3.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.

(1)△BEC是否为等腰三角形？为什么？(2)若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长.

例4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.探索四边形EFGH的形状并说明理由.

例5.如图,四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由.

例6．已知如图， AB∥CD，GM、GN、HM、HN、分别平分∠AGH、∠BGH、∠CHG、∠DHG，试判断四边形GMHN的形状，并说明理由。

【9.4矩形、菱形、正方形(3)(4)——菱形的性质、判定】

一、概念：

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．菱形的性质：

（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质

（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分.）

（2）菱形的特殊性质：

     ①菱形是轴对称图形；        ②菱形的四条边相等，对角线互相垂直.

3．菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(定义)

（2）四边相等的四边形是菱形.

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(归纳：证明四边形是菱形的方法有（1）四边相等（2）先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直)

二、 例题讲解

例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O。

（1）用含、的代数式表示菱形ABCD的面积s;

（2）若=3cm，=4cm，求菱形ABCD的面积和周长。

例2.已知菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC=120°，对角线AC和BD相交于点O，

求AC和BD的长

例3.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AB、CD的延长线分别相交于点E、F，四边形AFCE是菱形吗？说明你的理由.

例4．矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，AE//DB，AE、DE交于点E，

请问：四边形DOAE是什么四边形？请说明理由

例5．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。

【9.4矩形、菱形、正方形(5)——正方形的性质、判定】

一、概念：

1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2．正方形的性质：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质

①正方形的四条边             ，四个角               ；

②正方形的对角线                                    .

3．正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.

（2）有一个角是直角的菱形是正方形.

例1．如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，

并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形 A′B′C′D′是正方形.

例2．已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，

求证：AF＝CE.

例3．如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．问四边形CFDE是正方形吗?请说明理由．

例4．如图，正方形ABCD，点P是AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足为E、F，EF＝2，求PD的长.