苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形课时作业

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•海安市期末）下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．对角互补的平行四边形是矩形
C．一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A、有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形，故错误，不符合题意；
B、对角互补的平行四边形是矩形，故正确，符合题意；
C、一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形不一定是菱形，故错误，不符合题意；
D、对角线相等的四边形是矩形，故错误，不符合题意，
故选：B．
2．（2020春•栖霞区期中）下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解析】A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在▱ABCD中，AC＝BD，
则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在▱ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．（2020春•无锡期中）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量门框的三个角是否都是直角
D．测量两条对角线是否互相平分
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定，依次判断可求解．
【解析】∵门框两组对边分别相等，
∴门框是个平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；
故B不符合题意；
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故C不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
4．（2019春•如皋市期中）在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠ACD＝∠CDB
【分析】根据矩形的判定定理逐个判断即可．
【解析】
A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝∠CDB，
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（2018春•邳州市期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下面条件能判断平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AO＝COD．AB＝AD
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此分析判断．
【解析】A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．
故选：A．
6．（2018•溧水区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（ ）
A．∠BAC＝∠ACBB．∠BAC＝∠ACDC．∠BAC＝∠DACD．∠BAC＝∠ABD
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
【解析】A、∠BAC＝∠ACB，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC＝∠ACD，不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
故选：D．
7．（2020春•雨花区校级月考）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB＝BCB．∠ABC＝90°C．AC⊥BDD．∠1＝∠2
【分析】根据一个角是90°的平行四边形是矩形进行选择即可．
【解析】A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；
C、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形，不符合题意；
故选：B．
8．（2020秋•太原期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝ABD．∠BAD＝∠ADC
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解析】A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
9．（2019•工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD=2，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC=AD2+CD2=(2)2+12=3，
故选：B．
10．（2017春•江阴市校级期中）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，点P是线段BC上的一个动点，过点P分别作AB、AC的垂线交AB、AC于点M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】首先证明四边形PMAN是矩形，可得MN＝PA，根据垂线段最短即可解决问题；
【解析】∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠PMA＝∠PNA＝∠A＝90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴MN＝PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时∵AB＝AC，PA⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PA=12BC＝3，
∴MN的最小值为3，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018春•灌云县期中）要使▱ABCD为矩形，则可以添加一个条件为 对角线相等或有一个直角 ；
【分析】根据矩形的判断方法即可解决问题；
【解析】因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为对角线相等或有一个直角；
12．（2020春•雨花区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是 矩形 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，由等腰三角形的判定可得BO＝CO，可得AC＝BD，由矩形的判定可得平行四边形ABCD是矩形．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO=12AC，BO＝DO=12BD，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为矩形．
13．（2020春•邵阳县期末）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，需要添加一个条件，使它变为矩形，你添加的条件是 AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90° ．（不要添加任何字母和辅助线）
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得出四边形ABCD为平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形，
添加条件：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°时，四边形ABCD是矩形；
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°或∠BCD＝90°或∠CDA＝90°或∠DAB＝90°．
14．（2020春•房山区期末）在四边形ABCD中，有以下四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是 ①③④ ．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
【解析】当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴∠ACB＝∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：①③④．
15．（2020春•涿鹿县期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 AC＝BD或有个内角等于90度 （填写一个即可）．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．
【解析】∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．
故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．
16．（2020春•柘城县期末）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 ．
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）
17．（2020春•雄县期末）若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件 ∠A＝90° （一个即可）使四边形ABCD为矩形．
【分析】添加条件是∠A＝90°，根据矩形的判定推出即可．
【解析】添加条件∠A＝90°，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
18．（2019春•江干区期末）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为 矩形 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．
【解析】四边形ABCD为矩形．
理由：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•玄武区二模）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝ 80 °时，四边形BECD是矩形．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝40°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
∠OEB=∠ODC∠BOE=∠CODBO=CO，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：80．
20．（2020春•吴中区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）若∠BAD＝120°，AC＝8．求菱形ABCD的周长．
（2）若DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠BAD＝60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝8，即可得出答案；
（2）先证四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD＝90°，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠BAO=12∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；
（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形．
21．（2020春•南京期末）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得出∠EDB＝∠DBF，则DE∥BF，可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出DE⊥AB，则可得出结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
22．（2020春•清江浦区期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，求出∠DOC＝90°，根据矩形的判定得出即可．
【解析】证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
23．（2020•玄武区一模）如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．
【分析】（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，证明四边形APCQ是平行四边形，得出∠HAE＝∠FCG，由SAS即可证得△AHE≌△CFG；
（2）连接FH、EG，易证四边形EFGH和四边形ADGE都是平行四边形，得出EG＝FH，即可得出结论．
【解析】证明：（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴AQ∥CP，
∵AH∥CF，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴∠HAE＝∠FCG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴AE=12AB，CG=12CD，
∴AE＝CG，
在△AHE和△CFG中，AE=CG∠HAE=∠FCGAH=CF，
∴△AHE≌△CFG（SAS）；
（2）连接FH、EG，
∵AH∥CF，
∴∠AHF＝∠HFC，
由（1）得：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，
∴∠AHF﹣∠AHE＝∠HFC﹣∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，
∴HE∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由（1）得：AE＝DG，AB∥CD，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AD＝EG，
又∵FH＝AD，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
24．（2020春•鄂州期中）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；
（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；
【解析】（1）OE＝OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=12（∠ACB+∠ACG）=12×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．