初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形一等奖ppt课件

这是一份初中数学苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形一等奖ppt课件，文件包含苏科版数学八年级下册94《矩形菱形正方形》第1课时矩形课件pptx、苏科版数学八年级下册94《矩形菱形正方形》第1课时矩形原卷版docx、苏科版数学八年级下册94《矩形菱形正方形》第1课时矩形解析版docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共54页， 欢迎下载使用。

观察平行四边形的变化过程，当它的一个角变为直角时，会产生什么特殊的图形？
你能给这个图形下一个定义吗？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？
矩形是平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
能否类比平行四边形从对称性、角、对角线的角度研究矩形的特殊性质？
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
矩形是轴对称图形；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
已知：四边形ABCD是矩形，求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C，∠B=∠D ，∠A+∠B=180 °，又∵∠B=90°，∴ ∠B=∠D=90°，∠A=∠C=180∠B=90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=90°.求证：AC=BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，在△ABC和△DCB中， AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.
矩形的对角线互相平分；
∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° AC=BD
例题1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
例题2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
证明：连接DE.∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE, ∴DF=DC.
例题3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
例题4 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠BOC＝120°，AB＝6 cm. 求AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，
∴△ABO为等边三角形.
∴AO＝AB＝6 cm，∴AC＝2AO＝12 cm.
例题5 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD.
归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( )
　A．50° B．60° C．70° D．80°
已知四边形ABCD是矩形3.若已知AB=8㎝，AD=6㎝， 则AC＝_______ ㎝,OB=_______ ㎝.4.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm, 矩形的面积＝_______ ㎝2.5. 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= _____cm.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗是矩形，需要测量一些数据，你能帮忙解决这个问题吗？
如何判断一个图形是矩形呢？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形.
我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC， AB//CD.又∵AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB.∵ AB//CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形， 且AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.
我们知道矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
(1)有一个角是直角的四边形是矩形吗？(2)有两个角是直角的四边形是矩形吗？(3)有三个角是直角的四边形是矩形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴ AD//BC， AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵ ∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
∵四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.
现在你知道工人师傅怎样测量才能保证门窗是矩形吗？
测量两组对边的长度是否相等；测量其中一个内角是否为直角.
测量两组对边的长度是否相等；测量两条对角线是否相等.
测量其中三个内角是否为直角.
例题1 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 OA＝OD，∠OAD＝50°． 求 ∠OAB 的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∠OAD＝50°，∴ ∠OAB＝40°．
又OA＝OD，∴ AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90〫．
例题2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN
例题2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°．
∴四边形ADCE是矩形．
在例题2中，连接DE，交AC于点F．（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．
四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵四边形ADCE为矩形，∴AE∥DC，AE＝DC．在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴BD＝DC．∴AE∥BD，AE＝BD．∴四边形ABDE为平行四边形．
1．判断下列语句的对错．
（1）有一个角是直角的四边形是矩形． （ ）（2）四个角都相等的四边形是矩形． （ ）（3）对角线相等的四边形是矩形． （ ）（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形． （ ）
2． 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△ABO是等边三角形． 求证：平行四边形ABCD是矩形．
4．如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
解：四边形EFGH是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
两条平行线之间的距离
如图，l1∥l2，l3∥l4 ，l3 ，l4与l1 ，l2分别相交于A，B，C，D四点，你从中发现的平行四边形是？AD＝BC吗？
解：∵l1∥l2，l3∥l4 ，l3 ，l4与l1 ，l2分别相交于A，B，C，D四点，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
即：两条平行线之间的距离处处相等．
结论：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 两条平行线中，________________________________________，叫做这两条平行线之间的距离．
一点到另一条直线的距离
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
联系：两条平行线间的距离可以转化为点到直线的距离，再转化为点与点之间的距离．（转化思想）
区别：（1）两点之间的距离就是两点连线的线段长；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离 ；
（3）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．
例题3 如图，在□ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F． 求证：AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝CB ，∠A＝ ∠C．
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90〫．
∵∠A＝ ∠C ，∠AED＝∠CFB，AD＝CB．
∴△ADE≌△CBF (AAS)，
1． （1）如果□ ABCD中，∠A－∠B＝24°，则∠A＝_____°，∠B＝_____°，∠C＝_____°，∠D＝_____°； （2）如果□ ABCD 的周长为 28 cm，且AB∶BC＝2∶5，那么AB＝_____cm， BC＝_____cm，CD＝_____cm，DA＝_____cm．
2．如图， □ ABCD中，∠ADC＝119°，BE ⊥DC于点E，DF⊥BC于点 F，BE与DF相交于点H，则∠BHF＝ 度．
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADF＝∠DFC．∵DF⊥BC，∴∠ADF＝ 90°．
∵∠ADC＝119°， ∴∠EDF＝29°．∵BE⊥DC， ∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝180°－90°－ 29°＝61°， ∴∠BHF＝∠DHE＝61°．