人教版新课标A必修11.3.2奇偶性教学设计

第六讲 函数基本性质（单调性与奇偶性）

一、知识点睛

1、函数单调性判定、函数最值的求法和应用

2、奇偶性的判定和应用

3、函数的对称性质

二、考点梳理

1、函数的单调性

(1)单调函数的定义

 (2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2、函数的最值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

3、函数单调性的常用结论

（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；

（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；

（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；

（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：

①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；

②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

4、函数的奇偶性

（1）．函数奇偶性的定义及图象特点

判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

（2）．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数为偶函数，函数为奇函数．

②函数（且）为奇函数．

③函数（且）为奇函数．

④函数（且）为奇函数．

5、函数的周期性

1．周期函数

对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3．函数周期性的常用结论

设函数，.

①若，则函数的周期为；

②若，则函数的周期为；

③若，则函数的周期为；

④若，则函数的周期为；

⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；

⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；

⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；

⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为

6．奇偶函数图象的对称性

①若是偶函数，则的图象关于直线对称；

②若是偶函数，则

的图象关于点中心对称；

三、重难点题型突破

重难点1 判断或证明函数的单调性

1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；

③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。

2．判断函数单调性的方法：

（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．

（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．

（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．

（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.

2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．

例1．（1）函数的减区间是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】C

【解析】

由图象知单调减区间为，

（2）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是

故选：C

（3）．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A．；  B．；   C．；  D．

【答案】 A；

【解析】若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是

【变式训练1】定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则（    ）

A．                     B．

C．                    D．

【答案】D

【解析】因为对任意的，（），有，所以函数在上是减函数，因为，所以，故选D．

【变式训练2】已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．

（1）求的值；

（2）解不等式.

【解析】（1）令，则，.

（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，即.

∵，且，

∴可化为，即，

则，解得.

∴不等式的解集为．

解法二：由，

∴，

∴，即，

则，解得.

∴不等式的解集为．

重难点2 判断或证明函数的奇偶性

1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；

2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：

（1）定义法：

（2）图象法：

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

例2.（1）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（   ）

A．是偶函数       　　       B．是奇函数

 C．是奇函数                D．是奇函数

【答案】C

【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．

（2）下列判断正确的是

A．函数是奇函数 

B．函数是非奇非偶函数

C．函数是偶函数 

D．函数既是奇函数又是偶函数

【答案】B

【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.

对于B，，，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.

对于C，函数的定义域为，关于原点对称.当时，；当时，.综上可知，函数是奇函数.

对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.

【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.

（3）多选题）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，

故可得，

则，故选项正确；

由上述推导可知，故错误；

又因为，故选项正确.

又因为，故错误.

故选：AD.

【变式训练1】定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有.

求证：f (x)为奇函数；

【解析】令x = y = 0，则f (0) + f (0) =

∴ f (0) = 0，令x∈(－1, 1)  ∴－x∈(－1, 1)

∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0∴ f (－x) =－f (x)

∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数

【变式训练2】设函数为奇函数，则___________。

【答案】0；

【解析】由函数为奇函数得到，即

所以

重难点3 利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数

例3 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．

（1）求f（0）及f（f（1））的值；

（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；

【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；

（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；

【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；

则f（0）＝0，

f（1）＝1﹣2＝﹣1，

又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，

则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；

（2）设x＜0，则﹣x＞0，

则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，

又由函数f（x）为偶函数，

则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，

则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，

【变式训练1】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．

（1）求f（0）的值；

（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；

（3）求f（x）在R上的解析式．

【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．

（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．

（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．

【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（﹣0）＝﹣f（0），

∴f（0）＝﹣f（0），

∴2f（0）＝0，

∴f（0）＝0…（4分）

（2）当x＜0，即﹣x＞0时，

f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．

由于f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），

∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，

∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）

（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：

f（x）

重难点4 单调性与奇偶性的综合应用

例4.（1）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

【答案】

【解析】∵是定义在上的奇函数，∴.

又当时，，∴.

又为奇函数，∴，∴，

∴.

当时，由得，解得；

当时，无解；

当时，由得，解得.

综上，不等式的解集用区间表示为．

（2）．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．若时，，则时，

【答案】ABD

【解析】

由得，A正确；

当时，，则时，，，最大值为1，B正确；

若在上为增函数，则在上为增函数，C错；

若时，，则时，，，D正确．

故选：ABD．

【变式训练1】已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是           ．

【答案】

【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，

因为，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是.

例6.已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。

【解析】 是定义在上奇函数对任意有

由条件得=

是定义在上减函数，解得

实数的取值范围是

【变式训练1】已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即

又由知

（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：  

等价于，因为减函数，由上式推得：

．即对一切有：，

从而判别式

[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：

，

即，

整理得

上式对一切均成立，从而判别式

例7．已知定义在上的函数满足：

①对任意，，；②当时，，且 ．

（1）试判断函数的奇偶性．

（2）判断函数在上的单调性．

（3）求函数在区间上的最大值．

（4）求不等式的解集．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.

四、课后作业

1．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值   B．有最大值

C．是减函数   D．是增函数

【答案】D　

【解析】由题意知a＜1，若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，g(x)＝x＋－2a在(，＋∞)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g(x)＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上是增函数．故选D.

2．函数f(x)＝－的值域为________．

【答案】[－，]

【解析】因为所以－2≤x≤4，

所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．

又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，

所以f(x)＝－在[－2，4]上为减函数，

所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．即－≤f(x)≤ .

3．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2 018)＋f(2 019)＝(　　)

A．－2 B．－1

C．0 D．1

【答案】B　

【解析】因为奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

即f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，

f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝－1，则f(2 018)＋f(2 019)＝0－1＝－1，故选B．

4．已知奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝1，则满足|f(x－1)|≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－1，1] B．[0，2]

C．[1，2] D．[1，3]

【答案】B　

【解析】根据题意，得函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－1)＝－1，则函数f(x)在R上单调递增．若|f(x－1)|≤1，则－1≤f(x－1)≤1，即－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，即x的取值范围为[0，2]，故选B．

5．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是

故选：C

6．已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则为奇函数.

，即，，

.故选：C

7．（多选题）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，

故可得，

则，故选项正确；

由上述推导可知，故错误；

又因为，故选项正确.

又因为，故错误.

故选：AD.

8．（多选题）如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是(    )

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的,都有唯一的自变量与之对应

【答案】BD

【解析】对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为,故A不正确;

对于B,由函数的图象可知,函数的值域为:,故B正确;

对于C,函数在是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误;对于D,由函数的图象可知,对于任意的,都有唯一的自变量与之对应,故D正确.故选:BD.

9．函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．

①当时，y的取值范围是______；

②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．

【答案】       

【解析】

由图象可知，当时，函数在上的最小值，

 当时，函数在上的最小值，

 所以当，函数的值域为；

 当时，函数，当时，函数，

当时，或，

又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，

所以对于任意，要使得，则，或，

则实数的最大值是．

故答案为

10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.

【答案】1       

【解析】

依题意,,解得:,故函数在上单调递增,

故等价于,解得:,不等式的解集为:

故答案为:1,

11．函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.

【答案】单调增区间为：，；单调减区间为：，

【解析】

由图可知：该函数在区间单调递减，

在区间单调递增，在区间单调递减，

在区间单调递增.

故该函数的单调增区间为：，；

该函数的单调减区间为：，.

12．设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】

由是奇函数，且，得．

因为在上单调递减，且在上为奇函数，

所以在上单调递减，

则，解得，所以，故实数的取值范围为．

点睛：根据函数增减性和奇偶性求解不等式，可简记为去“”法，当奇函数在对应区间单调递增时，若，则；当奇函数在对应区间单调递减时，若，则

13．函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）设，，求函数的值域；

（2）当时，若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或或

【解析】

（1）设时，则，为奇函数，且时，，

，即.，

，

当时，得关于对称，在上递增，在递减，

，，得；当时，由奇函数关于原点对称，得.

的值域为；

（2）由（1）知，，时，，

i）当时，令，解得；

ii）当时，令=3，解得

综上：或或