人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质教案

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题11函数的基本性质（奇偶性）（练）

1．若函数为奇函数，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

为奇函数   

当时，   

又时，   

本题正确选项：
2．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由图像可知在时，在，；在，；

由为奇函数，图象关于原点对称，

在时，在，；在，；

又，在时与同号，在时与异号

故不等式的解集为：

故选：C
3．已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（    ）

A．6 B．3 C．0 D．

【答案】B

【解析】

由题得，所以函数的周期为.

由题得

，

，

，

所以，

所以.

故选：B.
4．下列函数中，是偶函数,且在上是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

A．定义域为，不关于原点对称，故不符合；

B．定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，在上是减函数，不符合；

C．定义域为关于原点对称，，所以是奇函数，不符合；

D．定义域为关于原点对称，当时，，当时，，所以是偶函数，时，是增函数，符合.

故选：D.
5．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为，那么它在区间上是（    ）

A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为

C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为

【答案】B

【解析】

任取、，且，即，则，

由已知，奇函数在区间上是增函数，则，

即，，所以，函数在区间上是增函数，

对任意的，，由题意，，可得，则有，

所以，函数在区间上有最大值.

故选：B.
6．已知偶函数在区间上的解析式为，下列大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为偶函数在区间上的解析式为

所以得到在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以A选项错误；

因为为偶函数，所以，

所以，所以B选项错误；

因为，所以C选项错误；

因为，所以D选项正确.

故选：D.
7．设函数，且，则等于（    ）

A． B．3 C． D．5

【答案】C

【解析】

令，则，所以是奇函数，

又，所以，所以.

故选：C.
8．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则________.

【答案】

【解析】

因为函数满足：，且函数是偶函数，

所以，且，可得，即

所以…①，…②

②-①，可得 ，即是周期为4的周期函数；

，

又，

所以 .

故答案为：.
9．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

函数是上的奇函数，则，

由可得，

由于函数在上单调递减，则，解得.

因此，满足的的取值范围是.

故答案为：.
10．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，有下列命题：①2是函数的周期；②函数在上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.

【答案】①②④

【解析】

用换中的，得，所以是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数是定义在上的偶函数且时，，

作出函数的部分图象如图所示

由图知，函数在上是增函数，故②正确；函数的最大值是1，最小值是，

故③错误；直线是函数图象的一条对称轴，故④正确.

故答案为：①②④
11．已知函数为奇函数且，求=_______.

【答案】﹣2

【解析】

函数是奇函数,且,则.

故答案为:﹣2．
12．已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【解析】

的定义为，关于原点对称，.

为定义在上的奇函数.

当时，，在上单调递增.

为定义在上的增函数.

，即

设

若对任意恒成立.

则需恒成立.

当时，在上恒成立

当时，在上单调递增，则不满足题意，舍去

当时，在上单调递减，则需解得，即

综上所述：

故答案为：
13．设函数

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递增，证明见解析.

【解析】

（1）函数为奇函数，证明如下：

函数的定义域为，关于原点对称，

，

因此，函数为奇函数；

（2）函数在上为增函数，证明如下：

当时，.

任取，则.

，，，，即.

因此，函数在上为增函数.
14．设函数是上的奇函数.

（1）求的值；

（2）求函数的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）函数的定义域为，关于原点对称，

由于函数为奇函数，则，即，

即，解得；

（2）由（1）知，令，得，可得，

，，即，解得.

因此，函数的值域为.
15．已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.

（1）求实数的值；

（2）若方程在区间上有两个不同的实根，试求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为函数的图像经过点，所以

因为函数是奇函数，

所以

因此

（2）因为，所以，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

因此若方程在区间上有两个不同的实根，则

1．已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设,则,

∵

∴.

故选D
2．定义在上的奇函数满足，若，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为函数是定义在上的奇函数，则函数的右边解析式可作出图象如图所示，

由题可知且，则已知，可得或，

解得或．

故选：A
3．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

函数为偶函数，则，

由，得，

函数在上单调递增，，即，

化简得，解得或，

因此，不等式的解集为，故选B.
4．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

∵偶函数在单调递减，且，

∴函数在单调递增，且．

结合图象可得不等式等价于或，

即或，

解得或．

故的取值范围为．选A．
5．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：∵对任意的恒成立，

∴在上是减函数，

又，

∴当时，，当时，，

又是偶函数，

∴当时，，当时，，

∴的解为．

故选B．
6．已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

在中，令，得，所以，

又为偶函数，所以，从而，

所以，故是以4为周期的周期函数，

所以.

故选：A
7．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由满足，

所以函数的周期，

又因为函数为奇函数，且当时，，

所以.

故选：B
8．已知定义在上的奇函数满足，则的值为______．

【答案】0

【解析】

因为满足，

所以的最小正周期为4，

所以，

又因为是上的奇函数，

所以，

所以的值为0.

故答案为：0
9．已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为____．

【答案】

【解析】

函数是上的偶函数，所以，

由，得，

函数在区间上单调递增，，得，

解得，因此，实数的取值范围是，故答案为．
10．已知函数（）是偶函数，则实数_____.

【答案】2

【解析】

因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且

又因为该二次函数的对称轴为，所以，故.

故答案为：2
11．已知函数，则不等式的解集为____．

【答案】（1，＋∞）

【解析】

的定义域为，关于原点对称且，所以是奇函数；

又因为时是增函数，所以在上是增函数；

因为，所以且，则有，故，即.
12．已知函数是奇函数，且，则________

【答案】-5

【解析】

函数是奇函数，

即，

由，所以.

故答案为：-5
13．函数是定义在上的奇函数，当时．

（1）求的解析式；

（2）判断的单调性（只写结果，不用证明），若，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）在区间上单调递增．

【解析】

（1）因为是奇函数，所以关于原点对称，∴．

设，则，，∴．

∴．

（2）在区间上单调递增．

∴，解得.

综上，实数的取值范围为．
14．已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）为奇函数，

当时，，则，

则，；

（2）由（1）可得，作出函数如下图所示：

由图象可知，函数的单调递增区间为，

由题意可得，则，解得.

因此，实数的取值范围是.
15．已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.