高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

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函数的三种表示方法
函数的三要素以及定义域、值域的秋乏
分段函数的表示
二、考点梳理
【基础知识梳理】
一、函数的概念
1．函数的概念
(1)函数
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
三、重难点
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.
①，；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
③，；
④，.
【变式训练1】（多选题）下列四个图形中可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是
① ② ③ ④
A．①B．①③④C．①②③D．③④
【变式训练3】设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．B．C．D．
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
例2．（1）下列函数中，与函数有相同定义域的是（ ）
A．B．C．D．
（2）下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A．y＝20与yB．y＝±1与y
C．y与yD．y＝x+1与y
【变式训练1】求下列函数的定义域．
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
例3．已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】（1）已知的定义域为，，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，，求函数的定义域．
（3）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
（4）已知函数的定义域为，，求函数的定义域．
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1】.（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与B．与
C．与D．与
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
例5．设函数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
例6．已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1】．已知函数是一次函数，且恒成立，则( )
A．1B．3
C．5D．7
例7．若函数满足，则___________．
【变式训练1】．对的所有实数，函数满足，求的解析式．
【变式训练2】.1）已知，求；
（2）已知，求f（x）的解析式．
(五)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例8．函数的值域是 _____.
例9．求下列函数的值域：
（1）； （2）； （3）.
【变式训练1】．求下列函数的值域
（1），，； （2）．
（3），，； （4）．
（5） （6） （7）．
【变式训练2】．多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则x的值是
E.的解集为
(六)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例10．已知，若，则______________.
例11．已知则不等式的解集是________.
【变式训练1】．（1）已知函数，若，则x=___________
（2）．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）
四、课后作业
1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )
A B C D
2．若函数满足，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3.求下列函数的定义域.
（1）y＝3－；
（2）y＝－；
（3）y＝；
（4）y＝－＋.
4．根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
（3）.
5．已知的定义域为，
（1）求的定义域；
（2）求的定义域
6.已知，求．
7.设二次函数满足，且，求的解析式．
8．已知函数，则________；的图象与坐标轴围成的图形的面积是________.
9．已知函数，则______，若，则______.
10．已知f(x)=
(1)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值;
(2)求f的值.
11．已知函数.
（1）求，的值；
（2）求证：是定值；
（3）求的值．
12．若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？
函数
设A、B是两个非空数集
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
y＝f(x)，x∈A